从本质看海明码——海明码的由来

陈冠斌

1.奇偶校验以及奇偶校验错误率

奇偶校验：每一位(包括校验位)都进行异或运算，结果为0

如x₁~x₇,y₀ (数据位为x₁~x₇，校验位为y₀)，则

x₁ xor x₂ xor ... xor x₇ xor y₀ = 0。

错误概率：

设共有n位，每一位的错误概率均为x

则错误k位的概率：C(n,k) * x^k * (1-x)^n-k

总概率：V = C(n,1) * x¹ * (1-x)^n-1 + C(n,3) * x³ * (1-x)^n-3+ ...

而：

S =  C(n,0) * x⁰ * (1-x)ⁿ + C(n,1) * x¹ * (1-x)^n-1 + ... + C(n,n) * xⁿ * (1-x)⁰ = [x+(1-x)]ⁿ = 1

T =  C(n,0) * x⁰ * (1-x)ⁿ - C(n,1) * x¹ * (1-x)^n-1 + C(n,2) * x² * (1-x)^n-2 - ... =[(1-x)-x]ⁿ = (1-2x)ⁿ

V = (S - T) / 2 = [ 1 - (1-2x)ⁿ ] /2 = x - 2*C(n,1)*x² + 4*C(n,2)*x³ - ...

由于x较小，x后面的项大致可以忽略，值约为x。

这与C(n,1) * x¹ * (1-x)^n-1 把1-x估计为1时的值时一致的。

如x=0.00001，x²过于小了，所以一般传输错误的话，只考虑一位错误。

2. 设计可以检验错误位数的方法(海明码的由来)

若想知道错误的位置，则通过多个式子共同判断，假设数据位为x₁~x_n-1,全体域为F，错误位置为x_c,第i(0<=i<m-1)个式子的数据位集合为S_i，数据位进行异或运算，结果为y_i，有：

xor {S₀} = y₀

xor {S₁} = y₁

……

xor {S_m-1} = y_m-1

这些式子和方程式不一样，它比方程式多了一个约束条件，这个约束条件是x1~xn有且仅有一个值为1，其它值为0。

对于值为1的第k个式子，等价为x_c∈S_k，存在错误位；

对于值为0的第k个式子，等价为x_c∈`S_k。

m个式子中，每个式子可以把全体域分为两部分，S_k和`S_k(即F-S_k)，根据不同的y_k值，选择其中一个集合。

错误位属于集合S₀(`S<sub>0</sub>) ∩ S<sub>1</sub>(`S₁) ∩ …∩ S_m-1(`S_m-1)。

如：x₁,x₂,x₃为数据位，y₀,y₁为检验位。

x₁ xor x₃ = y₀ = 0 (i)

x₂ xor x₃ = y₁ = 1 (ii)

即S₀={x₁,x₃},y₀=0 ; S₁={x₂,x₃},y₁=1。

错误位属于集合{x₂}∩{x₂,x₃}={x₂}，即错误位为x₂。

设n位二进制数y_m-1y_m-2…y₀为Y。对于任意一个数据位，它要么在S_k中，标记y_k=1；要么在`S_k中，标记y_k=0。对于数据位x₁~x_m-1的任意一个数，若它表示m位二进制数z_m-1z­_m-2…z₀,则第k个式子对应的值y_k为z_k。其中数据位x₁~x_n-1对应的y_m-1y_m-2…y₀的值都不相等，共有2^m­-1种可能性，其中若y_m-1y_m-2…y₀的值都为0，则代表无错误位。

以下是n=3时的情况：

(4)   x₄ xor x₅ xor x₆ xor x₇ = y₂

(2)   x₂ xor x₃ xor x₆ xor x₇ = y₁

(1)   x₁ xor x₃ xor x₅ xor x₇ = y₀

对于上述方式，y_m-1,y_m-2,…,y₀的位置还没确定下来。可以把y_m-1,y_m-2,…,y₀放在第2^m-1,2^m-2,…,2⁰位，所有y_k所在位置的值加起来，就是Y的值,即X_Y数据位发生错误(如果X_Y=0，则没有数据位发生错误)。其中第2^m-1,2^m-2,…,2⁰位有且只有一次参与了运算，把它们当作校验位，可认为x_2^(m-1),x_2^(m-2),…,x_0­的值为0。把x₁,x₂,x₄…用x_1+2^n,x_2+2^n,x_4+2^n…替代。如上文：

数据位为x₃,x₅,x₆,x₇,x₉,x₁₀,x₁₁,x₁₂。

(4)   x₁₂ xor x₅ xor x₆ xor x₇  = y₂

(2)   x₁₀ xor x₁₁ xor x₆ xor x₇ = y₁

(1)   x₉ xor x₃ xor x₅ xor x₇  = y₀

此时的这个方式称为海明码校验。

针对计算，比较有规律，可以通过硬件电路提高速度。

数据位：

从1开始，检验1位，跳转1位；[1,3,5,7,9,11……]

从2开始，检验2位，跳转2位；[2,3,6,7,10,11,……]

从4开始，检验4位，跳转4位；[4,5,6,7,12,13,14,15,……]

……

检验位：

每次乘以2，即二进制数每次左移一位。