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曼哈顿距离与切比雪夫距离：为何要相互转化

我们设 dM(A,B)d_M(A,B)dM(A,B) 为点 AAA 和点 BBB 的曼哈顿距离， dQ(A,B)d_Q(A,B)dQ(A,B) 为点 AAA 和点 BBB 的切比雪夫距离。
那么我们有两点 A(x1,y1),B(x2,y2)A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)A(x1,y1),B(x2,y2)时，两点在映射前后的 MMM 距离和 QQQ 距离是相等的。
碰到求切比雪夫距离或曼哈顿距离的题目时，我们往往可以相互转化来求解。两种距离在不同的题目中有不同的优缺点，应该灵活运用。

如何相互转化

曼哈顿坐标系是通过切比雪夫坐标系旋转 45°45°45° 后，再缩小到原来的一半得到的。
将一个点 (x,y)(x,y)(x,y) 的坐标变为 (x+y,x−y)(x+y,x-y)(x+y,x−y) 后，原坐标系中的曼哈顿距离等于新坐标系中的切比雪夫距离。
将一个点 (x,y)(x,y)(x,y) 的坐标变为 (x+y2,x−y2)(\frac{x+y}{2},\frac{x-y}{2})(2x+y,2x−y) 后，原坐标系中的切比雪夫距离等于新坐标系中的曼哈顿距离。

几个经典问题

二维非欧最远点对。
二维非欧最近点对。
多维曼哈顿最远点对。
多维曼哈顿最近点对。

二维非欧最远点对

转化为切比雪夫距离后，我们知道

dQ=max⁡{∣xi−xj∣,∣yi−yj∣}d_Q=\max\begin{Bmatrix} |x_i - x_j|,|y_i - y_j|\end{Bmatrix}dQ=max{∣xi−xj∣,∣yi−yj∣}

那么
ans=max⁡i,j∈n{max⁡{∣xi−xj∣,∣yi−yj∣}}ans=\max\limits_{i,j\in n}\begin{Bmatrix} \max\begin{Bmatrix} |x_i - x_j|,|y_i - y_j|\end{Bmatrix}\end{Bmatrix}ans=i,j∈nmax{max{∣xi−xj∣,∣yi−yj∣}} =max{max⁡i,j∈n{∣xi−xj∣},max⁡i,j∈n{∣yi−yj∣}}= max\begin{Bmatrix} \max\limits_{i,j\in n}\begin{Bmatrix} |x_i-x_j| \end{Bmatrix},\max\limits_{i,j\in n}\begin{Bmatrix} |y_i-y_j| \end{Bmatrix}\end{Bmatrix}=max{i,j∈nmax{∣xi−xj∣},i,j∈nmax{∣yi−yj∣}} =max⁡{max(x)−min(x),max(y)−min(y)}=\max\begin{Bmatrix} max(x)-min(x), max(y)-min(y) \end{Bmatrix}=max{max(x)−min(x),max(y)−min(y)}
扫一遍即可

二维非欧最近点对

仿照多维非欧最近点对，树状数组即可。

多维曼哈顿最远点对

对于二维曼哈顿距离，我们有公式 d(A,B)=∣x1−x2∣+∣y1−y2∣=max⁡{x1−x2+y1−y2,x1−x2+y2−y1,x2−x1+y1−y2,x2−x1+y2−y1}=max⁡((x1+y1)−(x2+y2),(x1−y1)−(x2−y2),(−x1+y1)−(−x2+y2)),(−x1−y1)−(−x2−y2)\begin{aligned} d(A,B)&=|x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|\\ &=\max\begin{Bmatrix} x_1 - x_2 + y_1 - y_2, x_1 - x_2 + y_2 - y_1,x_2 - x_1 + y_1 - y_2, x_2 - x_1 + y_2 - y_1\end{Bmatrix}\\ &= \max((x_1 + y_1) - (x_2 + y_2), (x_1 - y_1) - (x_2 - y_2),(-x_1 + y_1) - (-x_2 + y_2)) ,(-x_1 - y_1) - (-x_2 - y_2)\end{aligned} d(A,B)=∣x1−x2∣+∣y1−y2∣=max{x1−x2+y1−y2,x1−x2+y2−y1,x2−x1+y1−y2,x2−x1+y2−y1}=max((x1+y1)−(x2+y2),(x1−y1)−(x2−y2),(−x1+y1)−(−x2+y2)),(−x1−y1)−(−x2−y2)
那么

ans=max(max{(x+y)−(xj+yj)(x−y)−(xj−yj)(−x+y)−(−xj+yj)(−x−y)−(−xj−yj)},max(......),......)(2)ans=max(max\left\{\begin{matrix}(x+y)-(x_j+y_j)\\(x-y)-(x_j-y_j)\\(-x+y)-(-x_j+y_j)\\(-x-y)-(-x_j-y_j)\end{matrix}\right\} \tag{2},max(......),......)ans=max(max⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧(x+y)−(xj+yj)(x−y)−(xj−yj)(−x+y)−(−xj+yj)(−x−y)−(−xj−yj)⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫,max(......),......)(2)

也就是在四个状态下维护最大最小值，最后从四个状态中更新即可。
多维也同理。详见 POJ 2926 题解

多维曼哈顿最近点对

我们用以前的思路发现，查询时ans为
ans=min(max{(x+y)−(xj+yj)(x−y)−(xj−yj)(−x+y)−(−xj+yj)(−x−y)−(−xj−yj)},max(......),......)(2)ans=min(max\left\{\begin{matrix}(x+y)-(x_j+y_j)\\(x-y)-(x_j-y_j)\\(-x+y)-(-x_j+y_j)\\(-x-y)-(-x_j-y_j)\end{matrix} \right\} \tag{2} ,max(......),...... ) ans=min(max⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧(x+y)−(xj+yj)(x−y)−(xj−yj)(−x+y)−(−xj+yj)(−x−y)−(−xj−yj)⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫,max(......),......)(2)
这样的式子，max没发现以前那样拆开，难以往下推。

如果像以前描的话，我们算出来的是每一行的max然后取min，不能保证和此式子等价。

正解：

以查询点为原点，将空间分隔为八个卦限，最优解一定存在于某个卦限。我们可以以这个立体空间的8个角分别为原点坐标建立8个三维树状数组，树状数组维护前缀最大值。那么我们如果要得到最近的点，我们就去八个树状数组中查询小于等于当前值的最大值，做差取最小值即可。

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