泊松过程因为状态离散，因而不再用相关函数来进行刻画，转而用概率进行刻画。其严格定义此处不赘述，很容易查到，概括如下

泊松过程的条件

对于一个记数过程N(t)，满足下面四个条件时称之为泊松过程

N(0)=0
N(t)为独立增量过程
N(t)为平稳增量过程
N(t)有稀疏性，即在一个充分小的时间段Δt\Delta tΔt内，不可能记数两次

对一个二项分布，它有参数n和参数p，当p很小而n很大时，二项分布会变成泊松分布。泊松分布的刻画是: 等待一个稀有事件的发生。从而对于泊松过程来说，"跳动"就是一个稀有事件的发生
泊松过程的四个条件中，后三个条件其实很严格。如果放松这些条件，会得到一些推广的泊松过程，认识这些过程有助于理解泊松过程
因为泊松过程是初值给定的独立增量过程，因而也是Markov过程

P{N(s+t)−N(s)=k}=P{N(t)=k}=(λt)kk!e−λt,k=0,1,2,⋯P\{N(s+t)-N(s)=k\}=P\{N(t)=k\}=\frac{(\lambda t)^{k}}{k !} e^{-\lambda t}, k=0,1,2, \cdotsP{N(s+t)−N(s)=k}=P{N(t)=k}=k!(λt)ke−λt,k=0,1,2,⋯
E{N(t)}=λtE\{N(t)\}=\lambda tE{N(t)}=λt

研究泊松过程一定要利用好其独立增量性，例如上述等式中的第一个等号

泊松过程的拓广

放松平稳性。现在来看没有平稳性的泊松过程:

什么叫平稳性？直观来看，就是稀有事件(跳跃)的发生概率保持不变，“事件的发生强度不变”，这就是平稳性。

如果泊松过程的"强度"在发生变化，即参数λ\lambdaλ是时变的λ(t)\lambda (t)λ(t)，就称之为非齐次平稳过程

如果对泊松过程的稀疏性进行放松，即要求一个 ϵ\epsilonϵ 时间内，发生事件的次数为1次或多次，就会得到复合泊松过程
对于独立增量性的放松会导致泊松过程变化很大，有几种不同的变化方式

让泊松过程的强度 λ\lambdaλ 为一个随机变量，得到随即参数泊松过程
让泊松过程的强度在事件发生前后产生一种随事件变化的影响，这个拓广可以用泊松过程通过LTI系统来描述，得到过滤的泊松过程

泊松过程与指数过程

泊松过程跳跃的间隔长度服从指数分布

{Sn}\left\{S_{n}\right\}{Sn} 是第 n\mathrm{n}n 个事件发生的时刻
{X(n)=Sn−Sn−1}\left\{X(n)=S_{n}-S_{n-1}\right\}{X(n)=Sn−Sn−1} 表示第n-1个事件和第n个事件发生的时间间隔，也就是第 n−1\mathrm{n}-1n−1 个事件的寿命。
{N(t)}\{N(t)\}{N(t)} 是强度为 λ\lambdaλ 的时齐poisson过程 ⟺{X(n)}\Longleftrightarrow\{X(n)\}⟺{X(n)} 是独立且参数同为 λ\lambdaλ 的指数分布。
P{N(t)=k}=(λt)kk!e−λt,k=0,1,2,⋯P\{N(t)=k\}=\frac{(\lambda t)^{k}}{k !} e^{-\lambda t}, k=0,1,2, \cdotsP{N(t)=k}=k!(λt)ke−λt,k=0,1,2,⋯
P{X(n)≤x}=1−e−λx,x≥0P\{X(n) \leq x\}=1-e^{-\lambda x}, x \geq 0P{X(n)≤x}=1−e−λx,x≥0

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