060.弗洛伊德(Floyd)算法的原理以及解决最短路径问题

1. 弗洛伊德(Floyd)算法的原理
- 1.1. 基本介绍
  - 1.1.1. 弗洛伊德算法和迪杰斯特拉算法比较
- 1.2. 算法步骤
- 1.3. 步骤图解
  - 1.3.1. 第一轮循环
  - 1.3.2. 找出每个点作为中间结点的原理
2. 弗洛伊德算法的实现
- 2.1. 图类
- 2.2. 测试类
- 2.3. 测试结果

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1. 弗洛伊德(Floyd)算法的原理

1.1. 基本介绍

和迪杰斯特拉算法一样, 弗洛伊德(Floyd)算法也是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法.
该算法名称以创始人之一, 1978 年图灵奖获得者, 斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特弗洛伊德命名.

1.1.1. 弗洛伊德算法和迪杰斯特拉算法比较

迪杰斯特拉算法计算图中图中某一顶点到其它顶点的最短路径.
迪杰斯特拉算法通过选定的被访问顶点,
算出从出发访问顶点到其它顶点的最短路径.
弗洛伊德算法计算图中各顶点到其它顶点之间的最短路径.
弗洛伊德算法中每一个顶点都是出发访问点,
所以需要将每一个顶点看作被访问顶点,
从而算出从每一个顶点到其他它顶点的最短路径.

1.2. 算法步骤

假设顶点 v[i] 到顶点 v[k] 的最短路径为已知的 L[i][k],
顶点 v[k] 到 v[j] 的最短路径为已知的 L[k][j],
顶点 v[i] 到 v[j] 的路径为 L[i][j],
则 v[i] 到 v[j] 的最短路径为 min{(L[i][k] + L[k][j]), L[i][j]},
v[k] 的取值为图中的所有顶点, 则可获得 v[i] 到 v[j] 的最短路径.
至于 v[i] 到 v[k] 的最短路径 L[i][k] 或 v[k] 到 v[j] 的最短路径 L[k][j],
是以上述同样的方式获得的.

1.3. 步骤图解

以下图为例进行步骤讲解, 下图是一张连通图和其邻接矩阵.
下图是初始化的顶点间的前驱关系的矩阵.
在初始化的时候认为自身顶点到其它顶点的前驱结点都是自己.
此矩阵会后续进行动态更新来进行前驱结点的关系调整.
下面开始进行算法循环, 算法主要对点到点的距离表和前驱关系表进行动态操作.

1.3.1. 第一轮循环

在第一轮循环中, 以 A 点(下标为 0)作为中间结点, 两表更新如下.

即把 A 点作为中间顶点的所有情况进行遍历, 以下列举情况.
(1) [C -> A -> B] = 12
(2) [C -> A -> G] = 9
(3) [B -> A -> G] = 7
然后在邻接矩阵 graph_matrix[][] 中的权值距离更新如下:
- [C -> A -> B] 对应的是 C 点到 B 点的距离,
  - 原来两点间的距离为不连通或极大值, 而新值为 12 比原值要小, 因此进行替换.
  - 因为是无向图, 所以中心对称位置的同样也要进行更新, 如下所示:
    graph_matrix[2][1] = N -> graph_matrix[2][1] = 12
    graph_matrix[1][2] = N -> graph_matrix[1][2] = 12
  - 同时 C 到 B 之间的结点替换为 A. 同理 B 到 C 的也是.
    即 C 到 B 之前要先到 A 点, B 到 C 之前要先到 A 点.
- [C -> A -> G] 对应的是 C 点到 G 点的距离,
  - 原来两点间的距离为不连通或极大值, 而新值为 9 比原值要小, 因此进行替换.
  - 因为是无向图, 所以中心对称位置的同样也要进行更新, 如下所示:
    graph_matrix[2][6] = N -> graph_matrix[2][6] = 9
    graph_matrix[6][2] = N -> graph_matrix[6][2] = 9
  - 同时 C 到 G 之间的结点替换为 A. 同理 G 到 C 的也是.
    即 C 到 G 之前要先到 A 点, G 到 C 之前要先到 A 点.
- [B -> A -> G] 对应的是 B 点到 G 点的距离,
  - 原本点 B 到点 G 之间的距离为 3, 而 [B -> A -> G] 距离为 7,
  - 以保留最短路径为原则, 原值比新值更小, 因此这里不需要替换原来的值.

1.3.2. 找出每个点作为中间结点的原理

有以下三个数组作为三层遍历的前提需要
- 中间顶点 mid_arr = {'A','B','C','D','E','F','G'}
- 出发顶点 sta_arr = {'A','B','C','D','E','F','G'}
- 结束顶点 end_arr = {'A','B','C','D','E','F','G'}
首先第一层循环限定中间顶点, 给定 k 作为索引, k 从 0 开始,
k 最大值为数组长度减一.
然后第二层循环限定出发顶点, 给定 i 作为索引, i 从 0 开始,
i 最大值为数组长度减一.
接着第三层循环限定结束顶点, 给定 j 作为索引, j 从 0 开始,
j 最大值为数组长度减一.
最后再在第三层循环的循环体内开始如下操作:
- 假设现在的中间顶点是 mid_arr[k]
- 先算出 sta_arr[i] 到 end_arr[j] 的距离, 定为 Lse.
- 再算出 sta_arr[i] 到 mid_arr[j] 的距离, 定为 Lsm.
- 再算出 mid_arr[j] 到 end_arr[j] 的距离, 定位 Lme.
- 其中 Lsm + Lme 就是起点经由中间点到终点的距离,
  而 Lse 就是起点直接到终点的距离.
- 接着对比 Lse 和 Lsm + Lme 的大小, 保留它们最小的那个.
- 然后更新距离表中的值, 即 graph_matrix[i][j] = min{Lse,(Lsm + Lme)}
- 最后再更新中间结点表即可.
当三层循环结束, 就能得到每个顶点到其它所有顶点的最短距离.

2. 弗洛伊德算法的实现

实现细节请务必看注释

2.1. 图类

package com.leo9.dc40.floyd_algorithm;import org.w3c.dom.ls.LSOutput;import java.util.Arrays;public class Graph {//存放顶点的数组private char[] vertex_data;//存放从各个顶点出发到其它顶点的距离, 最后结果也直接写入其中.private int[][] vertex_route;//存放到达目标顶点的前驱结点private int[][] vertex_pre;public Graph(char[] vertex_data, int[][] vertex_route) {//给顶点数组和距离矩阵赋值this.vertex_data = vertex_data;this.vertex_route = vertex_route;//初始化前驱结点数组this.vertex_pre = new int[vertex_data.length][vertex_data.length];for (int i = 0; i < vertex_data.length; i++) {Arrays.fill(vertex_pre[i], i);}}//实现弗洛伊德算法public void getRouteByFloydAlgorithm() {//定义临时变量保存最短路径int temp_route = 0;//开始三层循环, 第一层循环选的是中间顶点for (int k = 0; k < vertex_route.length; k++) {//第二层循环选的是出发顶点for (int i = 0; i < vertex_route.length; i++) {//第三层选择的是结束顶点for (int j = 0; j < vertex_route.length; j++) {//获取顶点经过中间点再到终点的路径长度, 并赋给临时路径temp_route = vertex_route[i][k] + vertex_route[k][j];//然后用临时路径和起点到终点直连的路径比较if (temp_route < vertex_route[i][j]) {//如果临时路径比直连路径小, 则将直连路径重置为最小的临时路径vertex_route[i][j] = temp_route;//同时更新前驱结点vertex_pre[i][j] = vertex_pre[k][j];}}}}}//定义方法, 显示距离矩阵和前驱结点数组public void showArray() {System.out.println("===========show route matrix===========");for (int j = 0; j <= vertex_data.length; j++) {if (j - 1 < 0) {System.out.printf("%4c", ' ');} else {System.out.printf("%4c", vertex_data[j - 1]);}}System.out.println();//打印距离矩阵for (int i = 0; i < vertex_route.length; i++) {System.out.printf("%-3c[", 'A' + i);for (int j = 0; j < vertex_route.length; j++) {if (vertex_route[i][j] == 65535) {System.out.printf("%4c", 'N');} else {System.out.printf("%4d", vertex_route[i][j]);}}System.out.printf("   ]\n");}System.out.println();System.out.println("===========show pre matrix===========");for (int j = 0; j <= vertex_data.length; j++) {if (j - 1 < 0) {System.out.printf("%4c", ' ');} else {System.out.printf("%4c", vertex_data[j - 1]);}}System.out.println();//打印前驱结点矩阵for (int i = 0; i < vertex_pre.length; i++) {System.out.printf("%-3c[", 'A' + i);for (int j = 0; j < vertex_pre.length; j++) {System.out.printf("%4d", vertex_pre[i][j]);}System.out.printf("   ]\n");}}
}

2.2. 测试类

package com.leo9.dc40.floyd_algorithm;public class FloydAlgorithm {public static void main(String[] args) {char[] vertex_data = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};int[][] vertex_route = new int[vertex_data.length][vertex_data.length];//定义最大值常量final int N = 65535;//初始化邻接矩阵vertex_route[0] = new int[]{0, 5, 7, N, N, N, 2};vertex_route[1] = new int[]{5, 0, N, 9, N, N, 3};vertex_route[2] = new int[]{7, N, 0, N, 8, N, N};vertex_route[3] = new int[]{N, 9, N, 0, N, 4, N};vertex_route[4] = new int[]{N, N, 8, N, 0, 5, 4};vertex_route[5] = new int[]{N, N, N, 4, 5, 0, 6};vertex_route[6] = new int[]{2, 3, N, N, 4, 6, 0};Graph graph_case = new Graph(vertex_data,vertex_route);graph_case.getRouteByFloydAlgorithm();graph_case.showArray();}
}

2.3. 测试结果

根据作者的自检验, 结果是正确的.

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