常见的时间复杂度和排序算法

1、常见的时间复杂度

（1）O(1)：常量阶，运行时间为常量

（2）O(logn)：对数阶，如二分搜索算法

（3）O(n)：线性阶，如n个数内找最大值

（4）O(nlogn)：对数阶，如快速排序算法

（5）O(n^2)：平方阶，如选择排序，冒泡排序

（6）O(n^3)：立方阶，如两个n阶矩阵的乘法运算

（7）O(2^n)：指数阶，如n个元素集合的所有子集的算法

（8）O(n!)：阶乘阶，如n个元素全部排列的算法

2、常见的排序算法

排序法	平均时间	最差情形	稳定度	额外空间	备注
冒泡	O(n2)	O(n2)	稳定	O(1)	n小时较好
选择	O(n2)	O(n2)	不稳定	O(1)	n小时较好
插入	O(n2)	O(n2)	稳定	O(1)	大部分已排序时较好
希尔	O(nlogn)	O(ns) 1<s<2	不稳定	O(1)	s是所选分组
快速	O(nlogn)	O(n2)	不稳定	O(nlogn)	n大时较好
归并	O(nlogn)	O(nlogn)	稳定	O(1)	n大时较好
堆	O(nlogn)	O(nlogn)	不稳定	O(1)	n大时较好

3、常见算法思想

(1)冒泡排序：

是相邻元素之间的比较和交换，两重循环O(n2)；所以，如果两个相邻元素相等，是不会交换的。所以它是一种稳定的排序方法

(2)选择排序：

每个元素都与第一个元素相比，产生交换，两重循环O(n2)；举个栗子，5 8 5 2 9，第一遍之后，2会与5交换，那么原序列中两个5的顺序就被破坏了。所以不是稳定的排序算法

(3)插入排序：

插入排序是在一个已经有序的小序列的基础上，一次插入一个元素。刚开始这个小序列只包含第一个元素，事件复杂度O(n2)。比较是从这个小序列的末尾开始的。想要插入的元素和小序列的最大者开始比起，如果比它大则直接插在其后面，否则一直往前找它该插入的位置。如果遇见了一个和插入元素相等的，则把插入元素放在这个相等元素的后面。所以相等元素间的顺序没有改变，是稳定的。

(4)快速排序
快速排序有两个方向，左边的i下标一直往右走，当a[i] <= a[center_index]，其中center_index是中枢元素的数组下标，一般取为数组第0个元素。而右边的j下标一直往左走，当a[j] > a[center_index]。如果i和j都走不动了，i <= j, 交换a[i]和a[j],重复上面的过程，直到i>j。交换a[j]和a[center_index]，完成一趟快速排序。在中枢元素和a[j]交换的时候，很有可能把前面的元素的稳定性打乱，比如序列为 5 3 3 4 3 8 9 10 11，现在中枢元素5和3(第5个元素，下标从1开始计)交换就会把元素3的稳定性打乱，所以快速排序是一个不稳定的排序算法，不稳定发生在中枢元素和a[j]交换的时刻。

(5)归并排序
归并排序是把序列递归地分成短序列，递归出口是短序列只有1个元素(认为直接有序)或者2个序列(1次比较和交换),然后把各个有序的段序列合并成一个有序的长序列，不断合并直到原序列全部排好序。可以发现，在1个或2个元素时，1个元素不会交换，2个元素如果大小相等也没有人故意交换，这不会破坏稳定性。那么，在短的有序序列合并的过程中，稳定是是否受到破坏？没有，合并过程中我们可以保证如果两个当前元素相等时，我们把处在前面的序列的元素保存在结果序列的前面，这样就保证了稳定性。所以，归并排序也是稳定的排序算法。

(6)基数排序
基数排序是按照低位先排序，然后收集；再按照高位排序，然后再收集；依次类推，直到最高位。有时候有些属性是有优先级顺序的，先按低优先级排序，再按高优先级排序，最后的次序就是高优先级高的在前，高优先级相同的低优先级高的在前。基数排序基于分别排序，分别收集，所以其是稳定的排序算法。

(7)希尔排序(shell)
希尔排序是按照不同步长对元素进行插入排序，当刚开始元素很无序的时候，步长最大，所以插入排序的元素个数很少，速度很快；当元素基本有序了，步长很小，插入排序对于有序的序列效率很高。所以，希尔排序的时间复杂度会比o(n^2)好一些。由于多次插入排序，我们知道一次插入排序是稳定的，不会改变相同元素的相对顺序，但在不同的插入排序过程中，相同的元素可能在各自的插入排序中移动，最后其稳定性就会被打乱，所以shell排序是不稳定的。

(8)堆排序
我们知道堆的结构是节点i的孩子为2i和2i+1节点，大顶堆要求父节点大于等于其2个子节点，小顶堆要求父节点小于等于其2个子节点。在一个长为n的序列，堆排序的过程是从第n/2开始和其子节点共3个值选择最大(大顶堆)或者最小(小顶堆),这3个元素之间的选择当然不会破坏稳定性。但当为n/2-1, n/2-2, …1这些个父节点选择元素时，就会破坏稳定性。有可能第n/2个父节点交换把后面一个元素交换过去了，而第n/2-1个父节点把后面一个相同的元素没有交换，那么这2个相同的元素之间的稳定性就被破坏了。所以，堆排序不是稳定的排序算法