本篇文章的内容是基于上一篇文章的内容来的，所以没看过上篇文章的同学可以先看看上篇文章《线性代数的本质（1）——基底、向量、线性变换、逆阵、行列式》
本篇文章的内容主要是线性相关/无关、秩、伴随矩阵、线性方程组、核与像，我这里也是翻来覆去看了几遍尤其是秩后面这几个东西，所以很有可能理解的不到位，或者直接出现错误，希望各位能够多多包涵，并且提出宝贵的意见。
再次强调，这篇文章不是以应试为目的的，而是在于讲解线性代数的本质，如果是只想学会怎样计算的同学可以不用浪费时间了。

一、线性相关/无关
- 1. 线性相关
- 2. 线性无关
二、秩
- 1. 满秩
- 2. 降秩
- - 2.1 m > n
  - 2.2 n > m
三、伴随矩阵
四、线性方程组
- 1. 非齐次线性方程组
- - 1.1 无解
  - 1.2 有唯一解
  - 1.3 有无穷解
- 2. 齐次线性方程组
- - 2.1 只有0解
  - 2.2 有非零解
五、总结
六、参考

一、线性相关/无关

刚刚翻了翻前面的那篇文章，发现并没有详细的写明这个问题，所以我觉得有必要在这篇文章里面详细的谈一谈这个内容。

1. 线性相关

线性相关的含义为：某个向量能被其他向量表示出来。用另外一个通俗的语言来讲就是几个向量共线（共面、共空间、共超平面），用图来解释就是如下：

我们会发现，这里有两个向量，从几何上说，他们应该撑起一个平面，但是他们却在一条线上；从数值上来说，蓝色向量就是红色向量的-2倍（这里负号是指方向相反），所以这就是线性相关。

这是最简单的一种线性相关的类型，就是某个向量是另外一个向量的倍数，当然还有另外一种，就是某个向量能被其他几个向量表达出来，如下：

三维的图太难画了，大家凑合着看看吧Q^TAQ（这是在卖萌）

大家会发现，这是属于共面的情况，粉色与蓝色的向量好不容易撑起来了一个平面，红色这个小三就硬生生插入了进来开始了幸福的3P（people）生活，这也是线性相关的一个情况。

2. 线性无关

从上面线性相关的情况来看，线性无关就是任意一个向量都不能被其他向量表示出来，用一个图来说明就是：

用一句简单的歌词来说就是：“反正他都不难受，他只要自由，他都不会理会我的感受，退到无路可走不如就放开手，我也想要自由”。于是小红和小蓝各奔东西，各自撑起了一片天地（2个向量撑起了2维）。

二、秩

3B1B对秩（rank）的定义给的是“列空间的维数”，不过我更倾向于另外一个定义“变换后的空间的维数”，通俗来讲就是这些向量撑起了多大的空间。

1. 满秩

从名字来看，我们就可以看出来，满秩的意思就是说，有多少个向量，那么就有几维空间。也就是说，在这个矩阵中每个向量之间都是线性无关的。

用一个不恰当的话来说就是，如果是满秩，那么其实每个向量都可以看作是一个基底。毕竟基底是“张成该空间的一个线性无关向量的几何”嘛。

我再把上面那张图借来用用，这就是满秩的一个情况：

2. 降秩

从满秩的定义来看，也就是说降秩里面如果是方阵，那么存在线性相关的，即存在冗余信息，即有的向量共线（面、空间、超平面），或者说不是方阵，那么就撑不起应有的空间。

当然，我感觉无论是初学者还是考研的学生，应该都看到过一句话：对于一个m×n矩阵，r（A） ≤ min（m, n），那么我们从几何的角度上来思考这个问题。

2.1 m > n

m > n是行大于列，先上个图：

我们先看看3个向量，均是线性无关的，但是为何这三个向量构成的矩阵的秩只有2？我个人总结了以下2个解释：

从图可以很直观的看出来，这三个向量始终在一个平面中，新增的这个向量并没有使整个矩阵向着更高维度进军（没有z轴坐标或者说z轴坐标都为0），所以是二维；
用基向量角度考虑，这3个向量都可以且只能投影到x与y轴，被两个基向量表示出来，而不需要第三个基向量，所以是二维。

2.2 n > m

n > m是列大于行，继续上图：

同样，这两个向量也是线性无关的，而这个矩阵的秩为2的原因我也总结了以下两点：

虽然看似确实是有3个坐标轴，但是从图上看得出来，这两个向量仍然只张开了一个平面（阴影部分），并没有扩展成一个立体；
我们仍然用基向量的概念来解释，z轴肯定有个基向量这个不用考虑，而另外一个基向量应该是在x轴与y轴的角平分线上，我们可以用另外一个图来看看：

虚线指的是这个平面在x与y轴方向延伸的方向，基向量我们仍然可以取1，不过这个基向量就与x和y轴分别有了45°的夹角。

结合上上篇文章我们说的内容，我们又可以推导出下面的内容：

如果为方阵：满秩 = 任何两个向量线性无关 = 没有冗余 = 任何一个向量都不会被其他向量表示 = 空间变化率不为0 = 行列式不为0；

如果为方阵：降秩 = 存在向量线性相关 = 有冗余 = 两个或多个向量在同一平面（点、空间、超平面） = 空间变化率为0 = 行列式为0；

如果不为方阵：一定降秩 = 没有撑起相应的空间 = 没有行列式 = 没有逆阵。

三、伴随矩阵

伴随矩阵是我考研的时候最讨厌的东西，因为计算量贼大，所以每次算逆阵我都是用初等变换解决的。这一坨我的理解可能就稍微不是那么完全，也比较浅显，甚至有错误。

用伴随矩阵求逆阵的公式是：A^-1 = A^* / |A|。A^*是矩阵A的代数余子式构成的矩阵。如果对这个除法有疑问（不是说矩阵中不能用除法么），这里要在强调下，行列式是个数，是空间变换率。

而用初等变换（这里只用初等行变换，列变换同理）的方法是如下：（A|E）→（E|A^-1）。

由于我也没学过高等代数，就用我最浅显的理解来谈，初等变换是对A这个矩阵一次又一次的变换，最后慢慢变换为一个单位阵，也就求得了逆阵，即将A对向量一步一步的逆转回去的过程。那么我们在上篇文章中也提到了，矩阵与矩阵的乘法的含义是两个线性变换相继作用，那么伴随矩阵在我个人的理解中就是个工具人，就是使得这些线性变换能够一步到位的过程。

注：如果这节有问题，欢迎指教

四、线性方程组

我们这里主要是讨论线性方程组解的结构，下面的大部分内容是我个人的理解，如果有偏差或者错误请指出。

在讲解线性方程组之前先提三个概念：

核（kernel）：也称作零空间，是指在线性变换中被压缩掉的空间。
像（image）：是指线性变换后映射的空间，也可以理解为线性变换中没有被压缩掉的空间。
维数定理：dim（Ker（A）） + dim（Im（A）） = n

1. 非齐次线性方程组

形如Ax = b的方程组，可以将方程组转换为矩阵与向量的乘法，如下：

用上一篇文章矩阵乘向量的内容来解释就是：向量（x y）^T在矩阵的作用下变换到了向量（e f）^T的位置。

解的结构有如下三种：

矩阵的秩不等于增广矩阵的秩：无解；
矩阵的秩等于增广矩阵的秩且等于满秩：有唯一解；
矩阵的秩等于增广矩阵的秩且不等于满秩：有无穷解。

这里指的增广矩阵为(A|b)。

1.1 无解

我们先从无解的前提“矩阵的秩不等于增广矩阵的秩”来解读，这句话是说明了矩阵肯定小于增广矩阵的秩，因为这是个子集的概念（矩阵为增广矩阵的子集），那么就说明了矩阵中肯定有更多的经过初等行变换后为0的行，我们假定如下这种情况，矩阵最后一行为0，但是b的最后一行不为0：

那么为何无解？结合上上面说的变换的问题来看，就是这三个向量都在x-y平面，但是硬要在z轴给扩展到3的位置，但是在实数空间我们没法做到升维这种操作，所以实数空间没有向量能够在这种情况下升维，所以无解。

而用数值的方式就很容易解释了，单看某个方程，方程为0 = a（a为任意不为0的常数），这明显不可能对吧。

1.2 有唯一解

有唯一解这个就很好理解了，由于是满秩，向量们撑起来了应有的空间，且变换的时候空间没有被压缩，向量在矩阵的作用下变换到了另一个向量的位置，所以这个变换是唯一的变换，所以只有一个解。

用数值的方式也很好理解，有多少个未知数，就有多少个方程，那么方程的解是唯一的。

1.3 有无穷解

我们先看矩阵，如果是方阵，那么说明空间被压缩了，如果不是方阵，那么说明向量并没有撑起来应有的空间，那么无论从哪方面看，整个空间都是被压缩了的，在压缩的过程中，会有那么一些空间（线、平面、空间）被压缩到0向量的位置上，而这些被压缩到零向量上的空间就统称为零空间或者说核，而对于一个空间而言，点是无穷的，那么要使这个线性变换成立，这个空间上的点都是可行的，所以有无穷解。

而这个从数值上来说就是未知数个数大于方程的个数，就好比我们最终解方程组解出来剩下一个方程3x + 5z = 2，那么是不是x和z可以取无穷多的值？

2. 齐次线性方程组

形如Ax = 0的方程组，可以将方程组转换为矩阵与向量的乘法，如下：

用上一篇文章矩阵乘向量的内容来解释就是：向量（x y）^T在矩阵的作用下变换到了零向量的位置。

解的结构有如下两种：

只有零解：未知数个数等于秩（方程组数量）；
有非零解：秩（方程组数量）小于未知数个数。

2.1 只有0解

未知数个数等于方程组数量，那么说明这个空间没有被压缩，那么要使得一个向量在矩阵的作用下变到零向量，那么就只有可能这个向量本身就是个零向量。因为这个矩阵不为零，那么说明这个矩阵的作用只会使得向量放缩、旋转、剪切等，并不会压缩到0。

从数值上来说就好比2x = 0 → x = 0。

2.2 有非零解

由于方程组数量小于未知数个数，那么说明空间有压缩，那么同上面一样，会有个空间（线、平面、空间、超平面）被压缩到零空间，而这个空间的点有无穷的，所以有非零解。

从数值上来说，就和上面的例子一样，只不过这次是2x + 3y = 0。

这里也看得出来，其实齐次线性方程组是非齐次线性方程组的一个特例。

五、总结

由于这里写了差不多快5000字了，所以关于映射（单射、满射）的内容我们下次再讨论。码字画图不易，麻烦点个赞再走可以么[doge]。

线性相关与线性无关的几何意义；
秩的几何意义，以及何为满秩、何为降秩；
伴随矩阵是个工具人；
线性方程组解的结构；
像、核的定义。

六、参考

[1]3Blue1Brown.【官方双语/合集】线性代数的本质 - 系列合集[EB/OL].https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E,2016-10-18.
[2][日]平冈和幸,堀玄.程序员的数学3线性代数[M].人民邮电出版社:北京,2016.3:5.

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