用一个菜问秒杀若干伽刚特尔的概率

起因

我玩 pvz2 的砸罐子的时候，非要刷新到伽刚特尔在相邻三行内的时候，才开始打。今天就来算一下这个事件的概率。

问题定义

假设草坪有五行，有若干个伽刚特尔均匀随机地出现在任意一行上，而菜问的大招能秒杀三行以内的伽刚特尔（假设它们足够近，在3*3的格子范围内），求菜问能秒杀的概率。即，僵尸出现在123行，事件发生，124行则未发生。

这里假设僵尸出现在任意一行是等概率的，即此处的 1/5。草坪行数 row = 5，菜问大招范围 m = 3 都暂且定为常数，只考虑僵尸的数量 gn 是变量。

换个场景重新定义一下问题：若干个小球均匀随机地放入 1 ~ 5 号抽屉里，只能打开编号相连的三个抽屉（即123、234、345），问能取出所有小球的概率。这里可以认为，小球放好后，你可以知道小球在哪个抽屉，并总能做出最优的打开抽屉的方案，即开123号抽屉能取出所有小球，你不会打开234号抽屉。

问题分析

gn <= 2 的情况

gn = 1，很显然 p = 1。gn = 2 时，不妨考虑其对立事件，即菜问无法秒杀的概率。因为只有两只僵尸，且它们所在行之间的距离不小于3，所以只可能是14、15、25，用排列数计算如下：
P(Aˉ)=A22∗352=625P(\bar{A}) = \frac{A_2^2*3}{5^2} = \frac{6}{25}P(Aˉ)=52A22∗3=256
故，P(A)=1925P(A) = \frac{19}{25}P(A)=2519

gn >= 3 的情况

利用分类讨论是可以做的，无论是直接求该事件，或者求对立事件都可以做。要分三只僵尸位于三行、两行、一行三种情况讨论，然后综合计算即可。在草稿纸上经过大量计算后可得，P(A3)=65125P(A_{3}) = \frac{65}{125}P(A3)=12565 下标 3 表示 gn = 3。过程比较冗杂，这里不展开描述。

我介绍另一种较简单的思路：

首先选取三行只有三种情况，即选中123、234、345，不考虑行号，其实就是三个三行的情况（也就是说，不考虑行号的时候，选择123、234、345都一样）。假设僵尸全位于某一个三行内的排列数为a（如下图左1），那么2a（下图左2）就是选取123+选取234，这里会有一些重复。同理 3a 是考虑这三种情况的总合（下图左2），也有一些重复。

下面列一下每个选择具体包含的情况：

123行：1 2 3 1~2 2~3 1~3 （僵尸仅位于第1行、仅位于第2行、仅位于第3行，位于12行，位于23行，位于123行）
234行：2 3 4 2~3 3~4 2~4 （类似）
345行：3 4 5 3~4 4~5 3~5 （类似）

那么重复的部分是哪些呢？（2 3 2~3）、（3 4 3~4）这八种情况被计算了两次。前四种情况刚好是僵尸任意排在23行的排列数，后四种情况是僵尸任意排在34行的排列数。忽略行号，这两个排列数是相等的。

所以公式呼之欲出了，gn = 3 时的排列数 pq = 3 * 僵尸任意排列在三行内的排列数 - 2 * 僵尸任意排列在两行内的排列数

僵尸任意排列在三行内，就是 3gn3^{gn}3gn，两行内，则是 2gn2^{gn}2gn，所以

P(A3)=3∗33−2∗2353=65125P(A_3) = \frac{3 * 3^3 - 2 * 2^3}{5^3} = \frac{65}{125}P(A3)=533∗33−2∗23=12565

同理可得 P(A4)=3∗34−2∗2454=211625P(A_4) = \frac{3 * 3^4 - 2 * 2^4}{5^4} = \frac{211}{625}P(A4)=543∗34−2∗24=625211 关于 gn 的公式为

P(Agn)=3∗3gn−2∗2gn5gnP(A_{gn}) = \frac{3 * 3^{gn} - 2 * 2^{gn}}{5^{gn}} P(Agn)=5gn3∗3gn−2∗2gn

模拟实验

还是模拟实验一下，验证一下自己的计算结果。

import numpy as npdef calc(gn=2, row=5, m=3):# np.random.seed(42)sz = 10000000samples = np.random.randint(0, row, (sz, gn)) # 随机模拟僵尸的出现情况res = samples.max(axis=1) - samples.min(axis=1) # 一次模拟中 僵尸的最大距离 < 3 则事件发生# print(samples)# print(res)print(np.sum(res < m) / sz)calc(2)
calc(3)
calc(4)print(19/25)
print(65/125)
print(211/625)

运行结果如下，可见计算的结果应该没有问题。

总结

利用了容斥原理的思想，考虑简单情况的叠加，再除去重复计算的部分，就可以得到正确的结果。