离散数学 - 谓词公式

谓词公式

原子谓词公式定义:

由n原谓词P和n个个体变元x1, x2, …, xn构成的不包含任何量词和命题联结词的式子P(x1, x2, …, xn )称为原子谓词公式。

谓词公式递归定义:

原子谓词公式P(x)P(x)P(x)是谓词公式;
若P(x)是谓词公式，则∀P(x)\forall P(x)∀P(x)，∃xP(x)\exists xP(x)∃xP(x) 也是谓词公式;
若AAA, BBB是谓词公式，则¬A\neg A¬A ， A∨BA\vee BA∨B, A∧BA\land BA∧B, A→BA\to BA→B, A↔BA\leftrightarrow BA↔B也是;
只有有限次地应用(1)—(3) 形成的符号串才是谓词公式

辖域,约束变元,自由变元:

对一个量词，若后面有括号，则括号内的公式为该量词的辖域；若后面无括号，则紧跟量词后面的最小的子公式 就是该量词的辖域。
注：若两个量词相邻，则后一个量词在前一个量词的辖域内.
在量词辖域中出现的变元称为约束变元，不在量词辖域中出现的变元称为是自由变元

变元改名:

即使每个个体变元只以一种形式出现在公式中:

只对约束变元改名，不对自由变元改名;
改名必须处处进行，即对约束变元改名时，必须对该量词辖域内的每个受该量词约束的约束变元改名;
改名后的符号必须是该量词辖域内未出现过的符号，最好是整个公式中未出现过的符号;
改名前后公式的含义不变。

谓词公式的指派:

设谓词公式A中含n个自由个体变元x1,x2,...,xnx_1, x_2, ..., x_nx1,x2,...,xn和k个命题变元p1,p2,...,pkp_1, p_2, ..., p_kp1,p2,...,pk，则x1,x2,...,xn,p1,p2,...,pkx_1, x_2, ..., x_n, p_1, p_2, ..., p_kx1,x2,...,xn,p1,p2,...,pk的一组取值称作谓词公式A的一个指派。

谓词等值式

定义6：若设A, B是两个谓词公式, 如果A↔\leftrightarrow↔B是永真式, 则称A与B等值, 记作A⇔\Leftrightarrow⇔B, 并称A⇔\Leftrightarrow⇔B是等值式。

基本等值式:

由命题等值式推广出的谓词等值式.

一元谓词等值式:

消去量词等值式
对于:D={a1,a1,...,an,}D= \{a_1,a_1,...,a_n,\}D={a1,a1,...,an,}
∀xA(x)⇔A(a1)∧A(a1)∧A(a1)∧...A(an)\forall xA(x) \Leftrightarrow A(a_1)\land A(a_1)\land A(a_1)\land ...A(a_n)∀xA(x)⇔A(a1)∧A(a1)∧A(a1)∧...A(an)
∃xA(x)⇔A(a1)∨A(a1)∨A(a1)∨...A(an)\exists xA(x) \Leftrightarrow A(a_1)\vee A(a_1)\vee A(a_1)\vee ...A(a_n)∃xA(x)⇔A(a1)∨A(a1)∨A(a1)∨...A(an)
量词否定等值式
¬∀xA(x)⇔∃x¬A(x)\neg\forall xA(x) \Leftrightarrow \exists x \neg A(x)¬∀xA(x)⇔∃x¬A(x)
¬∃xA(x)⇔∀x¬A(x)\neg\exists xA(x) \Leftrightarrow \forall x \neg A(x)¬∃xA(x)⇔∀x¬A(x)
量词辖域收缩与扩张等值式:
A(x) 是含 x 自由出现的公式，B 中不含 x 的自由出现
关于全称量词的:
∀x(A(x)∨B)⇔∀xA(x)∨B\forall x(A(x)\vee B) \Leftrightarrow \forall xA(x)\vee B∀x(A(x)∨B)⇔∀xA(x)∨B
∀x(A(x)∧B)⇔∀xA(x)∧B\forall x(A(x)\land B) \Leftrightarrow \forall xA(x)\land B∀x(A(x)∧B)⇔∀xA(x)∧B
∀x(A(x)→B)⇔∃xA(x)→B\forall x(A(x)\to B) \Leftrightarrow \exists xA(x)\to B∀x(A(x)→B)⇔∃xA(x)→B
∀x(B→A(x))⇔B→∀xA(x)\forall x(B\to A(x)) \Leftrightarrow B\to \forall xA(x)∀x(B→A(x))⇔B→∀xA(x)
关于存在量词的：
∃x(A(x)∨B)⇔∃xA(x)∨B\exists x(A(x)\vee B) \Leftrightarrow \exists xA(x)\vee B∃x(A(x)∨B)⇔∃xA(x)∨B
∃x(A(x)∧B)⇔∃xA(x)∧B\exists x(A(x)\land B) \Leftrightarrow \exists xA(x)\land B∃x(A(x)∧B)⇔∃xA(x)∧B
∃x(A(x)→B)⇔∀xA(x)→B\exists x(A(x)\to B) \Leftrightarrow \forall xA(x)\to B∃x(A(x)→B)⇔∀xA(x)→B
∃x(B→A(x))⇔B→∃xA(x)\exists x(B\to A(x)) \Leftrightarrow B\to \exists xA(x)∃x(B→A(x))⇔B→∃xA(x)
量词分配等值式:
∀x(A(x)∧B(x))⇔∀xA(x)∧∀xB(x)\forall x(A(x)\land B(x))\Leftrightarrow \forall xA(x) \land \forall xB(x)∀x(A(x)∧B(x))⇔∀xA(x)∧∀xB(x)
∃x(A(x)∨B(x))⇔∃xA(x)∨∃xB(x)\exists x(A(x) \vee B(x))\Leftrightarrow \exists xA(x) \vee \exists xB(x)∃x(A(x)∨B(x))⇔∃xA(x)∨∃xB(x)
∀xA(x)∨∀xB(x)⇒∀x(A(x)∨B(x))\forall xA(x) \vee \forall xB(x) \Rightarrow\forall x(A(x)\vee B(x))∀xA(x)∨∀xB(x)⇒∀x(A(x)∨B(x))
∃x(A(x)∧B(x))⇒∃xA(x)∧∃xB(x)\exists x(A(x) \land B(x))\Rightarrow \exists xA(x) \land \exists xB(x)∃x(A(x)∧B(x))⇒∃xA(x)∧∃xB(x)

二元谓词等值式:

∀x∀yA(x,y)⇔∀y∀xA(x,y)\forall x\forall y A(x, y)\Leftrightarrow \forall y\forall x A(x, y)∀x∀yA(x,y)⇔∀y∀xA(x,y)
∃x∃yA(x,y)⇔∃y∃xA(x,y)\exists x\exists y A(x, y)\Leftrightarrow \exists y\exists x A(x, y)∃x∃yA(x,y)⇔∃y∃xA(x,y)

注意:两个相邻量词的性质不同时,一般不可以互换.

前束范式:

定义: 设A为一个一阶逻辑公式,若A中的量词只在前面.则成之为前束范式.

前束范式存在定理: 任一谓词公式都存在与之等值的前束范式。

注意: 前束范式不唯一