[校内模拟]光影交错

Description

有一个盒子，每个时刻有pl的概率往里面放一个白球，有pd的概率往里面放一个黑球，1-pl-pd的概率什么都不干，然后每个时刻末尾有p的概率直接结束过程
问所有满足“白球数量大于黑球数量”的时刻的数量的期望
所有读入的实数均保留5位小数

Solution

其实是JS的省队集训
考虑设f[i]表示，所有满足有i个球的时刻的期望，g[i]表示，i个球中，白球>黑球的概率
那么 A n s = ∑ i ≥ 1 f [ i ] ∗ g [ i ] Ans=\sum_{i\ge 1}f[i]*g[i] Ans=∑i≥1f[i]∗g[i]
设F(x)为f的生成函数，我们有 F ( x ) = ∑ i ≥ 1 ( 1 − p ) i − 1 [ ( p l + p d ) x + ( 1 − p l − p d ) ] i F(x)=\sum_{i\ge 1}(1-p)^{i-1}[(pl+pd)x+(1-pl-pd)]^i F(x)=i≥1∑(1−p)i−1[(pl+pd)x+(1−pl−pd)]i
设 a = 1 − p , b = ( p l + p d ) x + 1 − p l − p d a=1-p,b=(pl+pd)x+1-pl-pd a=1−p,b=(pl+pd)x+1−pl−pd，那么 F ( x ) = ∑ i ≥ 1 a i − 1 b i = b 1 − a b F(x)=\sum_{i\ge 1}a^{i-1}b^i={b\over 1-ab} F(x)=∑i≥1ai−1bi=1−abb
考虑将F(x)写成 b c − d x = b / c 1 − d / c x {b\over {c-dx}}={b/c\over 1-d/c x} c−dxb=1−d/cxb/c，可以发现F(x)存在一个一阶的线性递推
只需要求出 f [ 1 ] = ∑ i ≥ 1 ( 1 − p ) i − 1 ( 1 − p l − p d ) i − 1 i ( p l + p d ) = p l + p d ( 1 − ( 1 − p ) ( 1 − p l − p d ) ) 2 f[1]=\sum_{i\ge 1}(1-p)^{i-1}(1-pl-pd)^{i-1}i(pl+pd)={pl+pd\over (1-(1-p)(1-pl-pd))^2} f[1]=∑i≥1(1−p)i−1(1−pl−pd)i−1i(pl+pd)=(1−(1−p)(1−pl−pd))2pl+pd，即可递推计算
注意到当x大于某个界的时候f[x]已经很小了，所以只用保留前面的项
再考虑g[i]，注意这里计算的是条件概率需要/总概率，即 p l ′ = p l / ( p l + p d ) , p d ′ = p d / ( p l + p d ) pl'=pl/(pl+pd),pd'=pd/(pl+pd) pl′=pl/(pl+pd),pd′=pd/(pl+pd)
当n为奇数时， g [ n ] = g [ n − 1 ] ∗ ( p l ′ + p r ′ ) + p l ′ ∗ ( n − 1 n − 1 2 ) ∗ p l ′ n − 1 2 ∗ p r ′ n − 1 2 g[n]=g[n-1]*(pl'+pr')+pl'*\binom{n-1}{n-1\over 2}*pl'^{n-1\over 2}*pr'^{n-1\over 2} g[n]=g[n−1]∗(pl′+pr′)+pl′∗(2n−1n−1)∗pl′2n−1∗pr′2n−1，表示加上前n-1白=黑，且第n个为白
当n为偶数时， g [ n ] = g [ n − 1 ] ∗ ( p l ′ + p r ′ ) + p r ′ ∗ ( n − 1 n 2 ) p l ′ n 2 ∗ p r ′ n 2 − 1 g[n]=g[n-1]*(pl'+pr')+pr'*\binom{n-1}{n\over 2}pl'^{n\over 2}*pr'^{{n\over 2}-1} g[n]=g[n−1]∗(pl′+pr′)+pr′∗(2nn−1)pl′2n∗pr′2n−1，表示减去前n-1里白=黑+1，且第n个为黑
后面的组合数部分也可以直接递推
然后就做完了

Code

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;typedef double db;const int N=1e7+5;
const db eps=1e-15;int id,ty;
db pl,pd,p,f[N],g[N],c[N];int main() {freopen("augury.in","r",stdin);freopen("augury.out","w",stdout);scanf("%d",&id);for(scanf("%d",&ty);ty;ty--) {scanf("%lf%lf%lf",&pl,&pd,&p);db P=(1-p)*(1-pl-pd);db a=1-(1-p)*(1-pl-pd),b=(1-p)*(pl+pd);a=b/a;f[1]=1/(1-P)/(1-P)*(pl+pd);int n=1;while (1) {n++;f[n]=f[n-1]*a;if (f[n]<eps) break;}a=pl/(pl+pd);b=pd/(pl+pd);db ans=0;fo(i,0,n) {if (i&1) {if (i==1) c[i]=a;else c[i]=c[i-2]*a*b*(i-1)*i/(i>>1)/((i+1)>>1);g[i]=g[i-1]+c[i-1]*a;} else {if (!i) c[i]=1;else c[i]=c[i-2]*4*a*b*(i-1)/i;g[i]=g[i-1]-c[i-1]*b;}ans+=f[i]*g[i];}printf("%.10lf\n",ans);}return 0;
}