100层楼丢玻璃球问题

http://www.voidcn.com/article/p-cdzbhnxv-gv.html

有一栋100层高的大楼，给你两个完全相同的玻璃球。假设从某一层开始，丢下玻璃球会摔碎。那么怎么利用手中的两个球，用什么最优策略知道这个临界的层是第几层？？

解题思路：

假如只有一个球，那很显然，只有一个办法：从第一层开始投，如果没碎再试第二层、第三层.....现在有两个球，我们应该利用第一个球缩小临界楼层所在的楼层范围，可能会想到第一个球先从50层开始投，如果碎了，再用最后一个球从第一层开始投，最多到49楼肯定可以找到临界楼层，如果没碎那就说明临界楼层在50-100中，此时继续尝试75楼....可惜，上面的方法并非是最好的。因为最坏情况的投掷次数分布不均匀。比如，如果50楼碎了，此时最坏情况下需要尝试50次，如果50楼没碎，而75层不管是否碎了，最坏情况也只需要尝试25次，也就是说，50楼投掷结果不同，所需最坏情况下的次数也不同，这就是分布不均匀的意思，那是否有办法让其分布均匀，也就是说假如在f层投，不管碎还是不碎，继续时最坏情况所需次数也是一样的。这样才能使最坏情况下所需投掷次数达到最小。假设一开始从第k层投，如果坏了，那么第二个球可以在剩下的k-1层一定能用k-1次确定哪层坏，再加上第k层的那次，所以总共k次。如果第k层没有坏，那么第一个球在第k层的基础上再加k-1层（注意不是k层，原因见后面），所以第二次从2k-1层投下，在k，k+1，k+2，……，2k-2，2k-1中则有k-2层，所以用k-2次才能找出，再加上原来的那两次，还是共用了k次（为了保持总共还是k次，所以上面只能加k-1层）依次类推.....在第2k-1层基础上再加k-2层，在第3k-3层基础上再加k-3层，……，依次类推，一定能加到在第某层的基础上再加2层，最后再原来的基础上面还能再加1层，到目前为止，设为第n-1层，如果第n-1层坏了，那么就是第n-1层，如果没有坏，根据已知题说某一层能摔碎球，那么在第n-1层上面有且仅还有一层就是刚摔坏的层（此时不需要实际投，而是直接推理得出），这时用的次数还是k次（最不理想的结果），所以k次能测最多n层，由上面的解说，可知n-1=k+(k+1)+(k+2)+(k+3)+……+2+1=k(k+1)/2，得n=k(k+1)/2+1，由上面可知n=100(层)，k次最多能推测k(k+1)/2+1(层)，所以k(k+1)/2+1≥100，得k(k+1)≥198，且k的最小整数为14，所以最多14次就能找出题目中的那层。   补充：由上得知，第一次在14层投，第二次在第27层投，则依次为14 27 39 50 60 69 77 84 90 95 99。还能得出14次最多能测得到106楼，只不过题目中给了100楼，如果是107楼，那么就需要15次了。

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