计算离散点曲率的方法

2024-06-05 07:55:57

以三点外接圆方式计算：

以三个离散点的外接圆半径的倒数作为中间点的曲率计算公式为:
k=4Sabck = \frac{4S}{abc}k=abc4S
其中S为三点构成三角形的面积。
a、b、c分别为三角形的三个边长。
如下图所示：

三点计算三角形面积的计算公式为：
S=∣x1y2+x2y3+x3y1−y1x2−y2x3−y3x12∣S=|\frac{x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1-y_1x_2-y_2x_3-y_3x_1}{2}|S=∣2x1y2+x2y3+x3y1−y1x2−y2x3−y3x1∣
三个点分别为：
(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)(x_1, y_1),(x_2, y_2), (x_3, y_3)(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)

公式推导

S=ac∗sinθ24SR=2ac∗RsinθS = \frac{ac*sin\theta}{2}\\ 4SR=2ac*Rsin\theta S=2ac∗sinθ4SR=2ac∗Rsinθ
从图中可知
Rsinθ=b2Rsin\theta=\frac{b}{2}Rsinθ=2b
则
4SR=abcR=abc4S4SR=abc\\ R = \frac{abc}{4S} 4SR=abcR=4Sabc

感觉以上曲率的计算方法无法区分曲线有往左还是往右的趋势,因为计算出来的曲率总是个正值, 可以通过判断第三个点在第一和第二个组成的直线的左侧还是右侧来确定曲率的正负号, 下面介绍一种判断点在线段哪一侧的方法:

判断点在线段哪一侧:

假设要判断点P(x, y)位于A(x1, y1), B(x2, y2)点的哪一侧,可以通过二维平面两个向量的叉乘的正负号表示两个向量之间的旋转方法来求得

叉乘相关介绍:

https://blog.csdn.net/weixin_39872717/article/details/77368234?utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-2%7Edefault%7ECTRLIST%7Edefault-1.no_search_link&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-2%7Edefault%7ECTRLIST%7Edefault-1.no_search_link

A作为起点，建立两个向量
AP（x-x1，y-y1）
AB （x2-x1, y2-y1）

建造两个向量PA 与PB 则 PA（x1-x，y1-y） PB（x2 -x，y2-y）
则二者叉乘 (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=Z
Z=0：P点在直线ab上
Z>0：P点在直线右侧
Z<0：P点在直线左侧

引自：

Belyaev A G . A Note on Invariant Three-Point Curvature Approximations (Singularity theory and Differential equations)[J]. 数理解析研究所講究録, 1999, 1111:157-164.

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