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简介

Long Long Ago，在知乎上看了叶大的“一百行以下有哪些给力代码“和“用C语言绘制心形”的回答，可谓是我图形学的开始之一，最近才好好理解完了后者思路和实现，自己做了个球体版的。然后便看一幅幅图片就这样神奇地画出来...

大概的功能就是：

• 输出一些字符到（黑糊糊的）控制台，模拟一个圆/球的视觉效果；
• 生成一幅ppm格式的图像文件；
• 加入考虑高光、光照角度变化等因素生成动画帧序列等等。

接下来依次简要介绍它们的原理与效果，代码地址见文末。

平面圆形

首先，从简单的开始，这一切的根本都是源于一个方程：

没错，高中的姿势，这是笛卡尔坐标系下的圆形方程，圆心在原点(0,0)，半径为1。把一个坐标(x,y)带入方程f(x)之后，如果f值等于0，那么这个坐标点在圆上，如小于0就在圆内，反之在圆外。

于是，可以把控制台窗口的行和列作为XY轴，窗口中每一个位置即可以用一个坐标(行序号,列序号)表示，然后将用循环把坐标一个个代入方程，判断，小于等于0就输出一个符号（如'@'），大于0就输出一个空格，并在相应位置换行。这样你就有个圆啦。

判断控制台坐标属不属于圆的这个过程，对应在图形学中叫做光栅化(rasterization)；计算一个坐标控制台坐标该绘制什么符号的过程叫Pixel Operation(像素操作)；二者合起来也叫光栅化...

【细节不看区域】

/* 这里面比较妙的是，控制台本来就是自上而下、从左到右依次输出到屏幕的，相当于遍历了坐标平面，程序使用的坐标——也就是带入方程计算的坐标——并不是实际上的控制台的当前所在行数和列数，而是按照规定转换了下再代入方程计算的，这种转换是类似于把（第2行，第14列）的位置坐标转为(-1.2 , 0.3)坐标的过程，这发生在两个for循环中，for循环的步长也决定了图案的“分辨率”，结合代码就一目了然了。*/

平面圆形Plus

接下来是一个变体：Level-Set版的圆。就是有点等值线的味道，从平面圆方程可知，从边缘越往圆心走，f值从0变到-1，所以进一步把圆内部分按f值划分为若干个区域，着以不同符号。不多说效果如下。

3D球体

到了关键了，从2D到了3D，类似地有3D球体方程：

变量多了1个，增加了深度信息，开始变得那么一点点复杂了，数学也多起来了~~。但是始终记住，我们眼睛看到的东西都是图像，是二维的，显示到屏幕上的东西也是二维的。我们要找到二维图像上各像素的RGB数值。

【明暗处理模型】

我们以所以能看到物体，是因为有光的存在，物体反射/发出了光进入了眼睛。图形学中有一个基本的朗伯(Lambert)明暗处理模型，即遵从朗伯余弦定理：

物体表面的颜色c 与 此表面法线n和光线入射方向l的夹角的余弦 成比例。

直观理解是光线越是垂直与平面射入，这个平面颜色越亮，反之越暗，物体表面的颜色可以理解为RGB三个分量的值，值越大越明亮，值越小越黑暗。如果余弦值为负。具体细节可以参考图形学教材等。既然提到了方向，在XYZ坐标系中，方向可以用一个向量来表示，要求两个向量夹角的余弦值，可以简单让两个向量做点乘除以他们各自的模。

so，要确定图片一个点的颜色（的明暗程度），关键就是得到光线方向向量和图形在该点的法向量，再进一步求他们的余弦值。第一个：光线的方向是不变的，并且是我们人为给定的，这里让光线向量l从左上方射向中心点屏幕里，即在本例右手坐标系中l=(-1,1,1) (为什么是右手坐标系见代码里h函数及注释)；第二个：球体的法线向量也很直观，球心在原点的球体，其上的点(x,y,z)的法线n=(x,y,z)，不用像心形那样用有限差分法求法向量，因此画球体比画心形要简单些。

【思路】

对控制台每个坐标点按照平面案例中的规定转换为相应值后，代入f进行判断，由于只有x和y两个变量，所以还差一个代表深度z的变量，先把z设置为0进行计算，如果f>0即在点在球体外，输出代表空白的符号（空格）；如果f<=0在球体内，就计算下在当前x和y位置上，球体表面的z是多少，在同一个位置上有正面和背面2个深度，我们取靠近我们这一侧看得见的深度z。到这儿法向量和光线向量都有了，这个点的余弦值cos<n·l>=(-x+y+z)，余弦值在 [-1,1]之间。再根据不同的余弦值填充不同符号，这样你就有个球啦...

和前面有点像对不对~前面是根据f值填充不同符号，这里是根据不同余弦值~

【余弦值的修正】

有些面的法向量与光夹角大于90°时，按这个方式这些面就不显示，因为cos为负值的，但我们是实际上是能看见的，因为程序只加入了1个方向的光，而现实中的光是充满各个方向的，为避免这个现象，对cos进行wrapped diffuse修正，使其值在背面到正面的范围是 [0, 1]，而不是[-1,1]。修正公式：cos'=cos*0.5+0.5。

/* 为了表述方便，上面的XYZ方向和代码实现的有出入，代码里的深度是Y方向表示的，右手坐标系。*/

3D球体-图像输出

【ppm图像格式】

这是一种简单的图像格式，无压缩使用方便，能够直接控制精确到某一个像素的RGB值，适合用作图形学这种练习项目。建立一个文件，写入简单的文件头，然后依次写入每一行的RGB值，最后保存为ppm后缀格式，图片就这样生成了。可以用photoshop打开查看，我是用的2345看图王也可以。

【思路】

基本同前，不同的只有两个地方。

一、由于从控制台上0转到图片上时，控制台的行列和图片的宽高像素的转换规则不同了点，这部分反映在两个for循环处。

二、控制台版是根据修正后的余弦值填充不同符号；图片版是根据修正后的余弦值向文件写入不同的rgb强度值。在这个例子中rgb分量相同，即球体“固有色”是白色。控制台版填充空格时换在这里是填充背景色。

3D球体-光照动画图像序列

这个也比较简单了，之前所用的光线方向向量l=(-1,1,1)一直不变，于是可以一次次改变光线向量，一次次输出图像，就可以模拟光照方向改变时的情形啦。

例如l=(cosT,sinT,1) ,T是随"时间"不断变化的角度。也可以自己发挥乱改~下面的效果图我改变了球体固有色和背景色~以及后半时间段Z值

动图戳此 → github链接，破乎居然不支持gif动图...

控制台动画(for windows)

原理同上，这次回到控制台，调用了windows控制台的API，进行擦除、定位、输出的功能。

实现了光照动画和心跳状动画，这个毕竟参照的画心形，直接拿过来用...

不多解释，直接上图。

图片是对控制台录屏后做成gif后分解得到的。

gif动图戳此 → 光照 ，心跳

一些效果 · 高光、卡通渲染…

目前的场景里只有一个光源，我们假设球体的高光是就它产生的（其实也可以由别的方向的光产生，心形中shadertoy中的例子就是，为了视觉更好看，高光光光源的方向有一点点位置偏差。）

上面我们画的是物体在光照下的漫反射颜色，加入高光就是在原有漫反射的颜色基础上加入一个高光颜色（常见的是白色日光）进行合成。

高光的实现方法也简单，还是在求得的余弦值上做文章，高光是产生在哪里？可以认为，光线越是垂直射入一个面，那个面高光越强；我们只关注法向量和光线向量平行的那些面，即余弦值越接近于0。 筛选出我们想要的这些面后，按照接近程度，按照余弦值的大小比例（具体来说是1-cos）来加入高光颜色分量。对一个红球加入高光的效果如下图左。

可以看到，受高光影响的面太多了，显得有点假，现实中高光通常集中在一小块区域。应该降低余弦值的影响范围，由于余弦值在[0,1]之间，可以通过对余弦值进行乘方操作以减小其值（类似Phong光照模型）。右图是取cos^64的结果，可以看到，高光区域明显小很多，也要符合现实一点。

更新：卡通渲染，原理也比较简单就不介绍了。见源码。

源码在此

工程放在github上，代码文件都在sphere.c里面，这里还有一个介绍，里面有程序运行方法。

几句结语

到这里差不多介绍完了。还想说的是：

• 以前的意识是学图形学好像都是要装个什么opengl，d3d之类的库，等费劲倒腾安装完之后，又陷入各种各样的接口里面，看了milo先生的各种回答和文章后才眼前一亮，只靠一个记事本和一个gcc编译器就能直击图形学的知识，还体会到了数学之美_(:з」∠)_，成本和门槛大大降低了。大佬指路就是不一样，opengl之类的是属于图形学中实时渲染这一块，图形学的很多知识，基础知识是不一定需要这些工具库才可以学的。
• ppm图像格式确实简单，通俗易懂，以前不知道，在学校那会还曾研究过JPG图像格式，早知道有个ppm格式的就好了：）

细节还有欠缺，有空再修改，谢谢阅读。