NTL密码算法开源库——大整数ZZ类（四）

2021SC@SDUSC

RSA算法原理

密钥生成的步骤

第一步，随机选择两个不相等的质数p和q。

爱丽丝选择了61和53。（实际应用中，这两个质数越大，就越难破解。）

第二步，计算p和q的乘积n。

爱丽丝就把61和53相乘。

n = 61×53 = 3233

n的长度就是密钥长度。3233写成二进制是110010100001，一共有12位，所以这个密钥就是12位。实际应用中，RSA密钥一般是1024位，重要场合则为2048位。

第三步，计算n的欧拉函数φ(n)。

根据公式：φ(n) = (p-1)(q-1)

爱丽丝算出φ(3233)等于60×52，即3120。

第四步，随机选择一个整数e，条件是1< e < φ(n)，且e与φ(n) 互质。

爱丽丝就在1到3120之间，随机选择了17。（实际应用中，常常选择65537。）

第五步，计算e对于φ(n)的模反元素d。

所谓"模反元素"就是指有一个整数d，可以使得ed被φ(n)除的余数为1。

ed ≡ 1 (mod φ(n))

这个式子等价于

　ed - 1 = kφ(n)

于是，找到模反元素d，实质上就是对下面这个二元一次方程求解。

ex + φ(n)y = 1

已知 e=17, φ(n)=3120，

　17x + 3120y = 1

这个方程可以用"扩展欧几里得算法"求解，此处省略具体过程。总之，爱丽丝算出一组整数解为 (x,y)=(2753,-15)，即 d=2753。

至此所有计算完成。

第六步，将n和e封装成公钥，n和d封装成私钥。

在爱丽丝的例子中，n=3233，e=17，d=2753，所以公钥就是 (3233,17)，私钥就是（3233, 2753）。

实际应用中，公钥和私钥的数据都采用ASN.1格式表达（实例）。

第七步，RSA算法的可靠性

回顾上面的密钥生成步骤，一共出现六个数字：

p　　q　　n　　φ(n)　　e　　d

这六个数字之中，公钥用到了两个（n和e），其余四个数字都是不公开的。其中最关键的是d，因为n和d组成了私钥，一旦d泄漏，就等于私钥泄漏。

那么，有无可能在已知n和e的情况下，推导出d？

　　（1）ed≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n)，才能算出d。

　　（2）φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q，才能算出φ(n)。

　　（3）n=pq。只有将n因数分解，才能算出p和q。

结论：如果n可以被因数分解，d就可以算出，也就意味着私钥被破解。

可是，大整数的因数分解，是一件非常困难的事情。目前，除了暴力破解，还没有发现别的有效方法。

举例来说，你可以对3233进行因数分解（61×53），但是你没法对下面这个整数进行因数分解。

12301866845301177551304949
　　58384962720772853569595334
　　79219732245215172640050726
　　36575187452021997864693899
　　56474942774063845925192557
　　32630345373154826850791702
　　61221429134616704292143116
　　02221240479274737794080665
　　351419597459856902143413

它等于这样两个质数的乘积：

　　33478071698956898786044169

　　84821269081770479498371376

　　85689124313889828837938780

　　02287614711652531743087737

　　814467999489

　　36746043666799590428244633

　　79962795263227915816434308

　　76426760322838157396665112

　　79233373417143396810270092

　　798736308917

事实上，这大概是人类已经分解的最大整数（232个十进制位，768个二进制位）。比它更大的因数分解，还没有被报道过，因此目前被破解的最长RSA密钥就是768位。

第八步，加密和解密

有了公钥和密钥，就能进行加密和解密了。

（1）加密要用公钥 (n,e)

假设鲍勃要向爱丽丝发送加密信息m，他就要用爱丽丝的公钥 (n,e) 对m进行加密。这里需要注意，m必须是整数（字符串可以取ascii值或unicode值），且m必须小于n。

所谓"加密"，就是算出下式的c：

　me ≡ c (mod n)

爱丽丝的公钥是 (3233, 17)，鲍勃的m假设是65，那么可以算出下面的等式：

6517 ≡ 2790 (mod 3233)

于是，c等于2790，鲍勃就把2790发给了爱丽丝。

（2）解密要用私钥(n,d)

爱丽丝拿到鲍勃发来的2790以后，就用自己的私钥(3233, 2753) 进行解密。可以证明，下面的等式一定成立：

　cd ≡ m (mod n)

也就是说，c的d次方除以n的余数为m。现在，c等于2790，私钥是(3233, 2753)，那么，爱丽丝算出

27902753 ≡ 65 (mod 3233)

因此，爱丽丝知道了鲍勃加密前的原文就是65。

至此，"加密--解密"的整个过程全部完成。

我们可以看到，如果不知道d，就没有办法从c求出m。而前面已经说过，要知道d就必须分解n，这是极难做到的，所以RSA算法保证了通信安全。

你可能会问，公钥(n,e) 只能加密小于n的整数m，那么如果要加密大于n的整数，该怎么办？有两种解决方法：一种是把长信息分割成若干段短消息，每段分别加密；另一种是先选择一种"对称性加密算法"（比如DES），用这种算法的密钥加密信息，再用RSA公钥加密DES密钥。

第九步，私钥解密的证明

最后，我们来证明，为什么用私钥解密，一定可以正确地得到m。也就是证明下面这个式子：

　cd ≡ m (mod n)

因为，根据加密规则

ｍe ≡ c (mod n)

于是，c可以写成下面的形式：

　c = me – kn

将c代入要我们要证明的那个解密规则：

　(me - kn)d ≡ m (mod n)

它等同于求证

　med ≡ m (mod n)

由于

ed ≡ 1 (mod φ(n))

所以

ed = hφ(n)+1

将ed代入：

mhφ(n)+1 ≡ m (mod n)

接下来，分成两种情况证明上面这个式子。

m与n互质。

根据欧拉定理，此时

mφ(n) ≡ 1 (mod n)

得到

(mφ(n))h × m ≡ m (mod n)

原式得到证明。

（2）m与n不是互质关系。

此时，由于n等于质数p和q的乘积，所以m必然等于kp或kq。

以 m = kp为例，考虑到这时k与q必然互质，则根据欧拉定理，下面的式子成立：

(kp)q-1 ≡ 1 (mod q)

进一步得到

[(kp)q-1]h(p-1) × kp ≡ kp (mod q)

即

(kp)ed ≡ kp (mod q)

将它改写成下面的等式

(kp)ed = tq + kp

这时t必然能被p整除，即 t=t'p

(kp)ed = t'pq + kp

因为 m=kp，n=pq，所以

med ≡ m (mod n)

原式得到证明。

部分代码

RSA.h/*********************************************************************** RSA 加密与解密                    １、p , q  均是 " << bits <<" bits 的大素数(概率素数)；２、加密密钥 e 是 100 bits 的大整数；              ３、明文文件, 密文文件及解密文件均存放于当前目录下；***********************************************************************/#include"RSA.H"# pragma comment (lib, "NTL-5.3.2\\NTL532.lib")#define BITS 256      //要求概率素数 p , q 的比特位数达 BITS bitsvoid main(){ZZ  p, q ;   //两个 BITS 比特的随机概率素数 p , qZZ  n, e, d, euler;   // n=p*q, euler=(p-1)*(q-1), e---加密密钥,  d---解密密钥int bits = BITS;      //要求概率素数为 BITS bitscout<<endl;cout<<"**********************************************************"<<endl;cout<<"                 NTL 库实现 RSA 加密与解密             "<<endl;cout<<"  １、p , q  均是 " << bits <<" bits 的大素数(概率素数)； "<<endl;cout<<"  ２、加密密钥 e 是 100 bits 的大整数；                   "<<endl;cout<<"  ３、明文文件, 密文文件及解密文件均存放于当前目录下；    "<<endl;cout<<"**********************************************************"<<endl;system("cls");RandomPrime( p, bits, 10 );    RandomPrime( q, bits, 10 );n=p*q;   euler=(p-1)*(q-1);    //计算 n=p*q 及 欧拉函数值 euler(n)=(p-1)*(q-1)KeyGeneration(d, e, euler);    //生成密钥: d, e , where d*e=1 Mod euler(n)SaveKey(e, d, n); //保存公钥及私钥到文件. 注意: PU={e,n}, PR={d,n}//注意: 公钥 KU={e,n}, 用于加密方//       私钥 KR={d,n}, 用于解密方Encryption(e, n); //加密: C=M^e(Mod n)Decryption(d, n); //解密: M=C^d(Mod n)cout<<endl;cout<<"**********************************************************"<<endl;cout<<"                 NTL 库实现 RSA 加密与解密             "<<endl;cout<<"  １、p , q  均是 " << bits <<" bits 的大素数(概率素数)； "<<endl;cout<<"  ２、加密密钥 e 是 100 bits 的大整数；                   "<<endl;cout<<"  ３、明文文件, 密文文件及解密文件均存放于当前目录下；    "<<endl;cout<<"**********************************************************"<<endl;cout<<"\n程序执行完毕!"<<endl;cout<<"*********** 以下所有文件均保存于当前目录下 ***********"<<endl;cout<<"\t 明文文件:   "<< file1 <<endl;cout<<"\t 密文文件:   "<< file2 <<endl;cout<<"\t 解密文件:   "<< file3 <<endl;cout<<"\t RSA 加密密钥文件:   PublicKey.txt"  << endl;cout<<"\t RSA 解密密钥文件:   PrivateKey.txt" << endl;cout<<endl;cout<<"******************************************************"<<endl;cout<<endl; system("pause");}

具体代码见@元解~殇怀

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