【BZOJ1580】【USACO2009Hol】杀手游戏计算几何

题目描述

　　一个平面上有很多个点在运动。给你每个点的初始坐标和每个点的速度，求出最多有多少个点到00号店的距离同时不超过rr。

　　n≤50000n\leq 50000

题解

　　我们先把00号点平移到原点，并令它静止不动。这样每个其他的点的运动轨迹就可以看成一条直线，要求出最多有多少个点同时在圆内。然后就是求直线和圆的交点。然后把这些交点按照时间排序，第一次出现就是进入，第二次出现就是出去。直接扫一遍就可以了。

　　求直线的方程&交点~~很简单~~，就是解几个方程，大家可以自己计算。设直线的方程为ax+by+c=0ax+by+c=0，圆的方程为x2+y2=r2x^2+y^2=r^2，交点的横坐标为xx，结果为

(a2+b2)x2+2acx+c2−b2r2=0

(a^2+b^2)x^2+2acx+c^2-b^2r^2=0
　　时间复杂度：O(nlogn)O(n\log n)

　　好吧。。。我还是放上计算过程吧

ax+by+ca(x−vx)+b(y−by)+cavx+bvyabc=0=0=0=vy=−vx=yvx−xvy

\begin{align} ax+by+c&=0\\ a(x-vx)+b(y-by)+c&=0\\ avx+bvy&=0\\ a&=vy\\ b&=-vx\\ c&=yvx-xvy\\ \end{align}

{x2+y2=r2ax+by=c

\begin{cases} x^2+y^2=r^2\\ ax+by=c \end{cases}

yx2+(c−axb)2(a2+b2)x2+2acx+c2−b2r2=c−axb=r2=0

\begin{align} y&=\frac{c-ax}{b}\\ x^2+{(\frac{c-ax}{b})}^2&=r^2\\ (a^2+b^2)x^2+2acx+c^2-b^2r^2&=0 \end{align}

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<cmath>
#include<functional>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
typedef pair<double,double> pdd;
typedef pair<double,int> pdi;
void sort(int &a,int &b)
{if(a>b)swap(a,b);
}
void open(const char *s)
{
#ifndef ONLINE_JUDGEchar str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
struct point
{double x,y;point(double a=0,double b=0){x=a;y=b;}
};
point operator -(point a,point b)
{return point(a.x-b.x,a.y-b.y);
}
double dist(point a)
{return sqrt(a.x*a.x+a.y*a.y);
}
pdi f[100010];
int m;
double r;
double eps=1e-9;
double bx,by,bvx,bvy;
int sign(double x)
{return x>0;
}
int tot=0;
void solve(int id)
{double a,b,c;double x,y,vx,vy;scanf("%lf%lf%lf%lf",&x,&y,&vx,&vy);x-=bx;y-=by;vx-=bvx;vy-=bvy;if(fabs(vx)<eps&&fabs(vy)<eps){if(dist(point(x,y)-point())<r)tot++;return;}a=vy;b=-vx;//vy*x-vx*y+c=0c=vx*y-vy*x;point p1,p2;if(fabs(b)<=eps){if(x>r)return;p1=p2=point(x,sqrt(r*r-x*x));p2.y=-p2.y;f[++m]=pdi((p1.y-y)/vy,id);f[++m]=pdi((p2.y-y)/vy,id);return;}double A=a*a+b*b,B=2*a*c,C=c*c-b*b*r*r;if(B*B-4*A*C<0)return;double x1=(-B-sqrt(B*B-4*A*C))/(2*A);double x2=(-B+sqrt(B*B-4*A*C))/(2*A);p1=point(x1,-(a*x1+c)/b);p2=point(x2,-(a*x2+c)/b);f[++m]=pdi((p1.x-x)/vx,id);f[++m]=pdi((p2.x-x)/vx,id);
}
int e[100010];
int main()
{open("bzoj1580");int n;scanf("%d%lf%lf%lf%lf%lf",&n,&r,&bx,&by,&bvx,&bvy);int i;for(i=1;i<=n;i++)solve(i);sort(f+1,f+m+1);int s=0,ans=0;for(i=1;i<=m;i++){if(!e[f[i].second]){e[f[i].second]=1;s++;if(f[i].first>0)ans=max(ans,s);}else{if(f[i].first>0)ans=max(ans,s);s--;}}printf("%d\n",ans+tot);return 0;
}