平面图

概念

若无向图GGG有一种在平面上的画法，其中，边仅相交于表示顶点的点，则称GGG是平面图，否则为非平面图。这样画的几何图形称为它的平面表示，简称平图。

极大平面图

是平面图,但是在任意两个不相邻顶点之间加边就是非平面图

面的次数均为3

极小非平面图

是非平面图,但是删除任意1边就是平面图

例如K5,K3,3K_5,K_{3,3}K5,K3,3

性质

握手定理

平面图各面的次数之和等于其边数的两倍。

每条边分割出两个面，贡献两个次数（握手定理的另一种形式）。

欧拉公式

判断平面图的必要条件

若连通平面图有nnn个顶点，mmm条边，rrr个面，则
n−m+r=2n-m+r=2 n−m+r=2

推广

记平面图的连通分量个数为ppp，
n−m+r=1+pn-m+r=1+p n−m+r=1+p

根据欧拉公式，可证只存在五种正多面体

推论

推论1

若连通平面图各面的次数不小于l(≥3)l(\geq 3)l(≥3)，则
m≤ll−2(n−2)m\leq \frac{l}{l-2}(n-2) m≤l−2l(n−2)

证明

2m=∑i=1rdeg(Ri)≥l⋅r=l⋅(2+m−n)2m=\sum_{i=1}^r {\rm deg}(R_i)\geq l\cdot r=l\cdot(2+m-n) 2m=i=1∑rdeg(Ri)≥l⋅r=l⋅(2+m−n)

推广

设平面图连通分量为ppp，
m≤ll−2(n−p−1)m\leq \frac{l}{l-2}(n-p-1) m≤l−2l(n−p−1)

推论2

较推论1更弱

设n(≥3)n(\geq 3)n(≥3)阶简单平面图有mmm条边，则
m≤3n−6m\leq 3n-6 m≤3n−6

证明

由简单图得l≥3l\geq 3l≥3
m≤ll−2(n−p−1)≤(n−2)3=3n−6m\leq \frac{l}{l-2}(n-p-1)\leq (n-2)3=3n-6 m≤l−2l(n−p−1)≤(n−2)3=3n−6
其中p≥1p\geq 1p≥1，ll−2\frac{l}{l-2}l−2l在l=3l=3l=3时取到最大值

对于简单极大平面图，m=3n−6m=3n-6m=3n−6

（2m=3r,r=2+m−n2m=3r,r=2+m-n2m=3r,r=2+m−n)

推论

简单平面图GGG满足δ(G)≤5\delta(G)\leq 5δ(G)≤5.

获取一个小度点往往是重要的算法切入点

证明

（反证法）假设δ≥6\delta\geq 6δ≥6，则n≥6n\geq 6n≥6，得
2m=∑d(v)≥nδ≥6n⇒m≥3n2m=\sum d(v)\geq n\delta\geq 6n\Rightarrow m\geq 3n 2m=∑d(v)≥nδ≥6n⇒m≥3n
与m≤3n−6m\leq 3n-6m≤3n−6矛盾。

库拉托夫斯基定理

准备

同胚

反复插入或删除2度顶点后得到的图与原图同胚。

收缩

删除（一些）边，将每对与被删边关联的顶点合并为一个顶点，得到的图是原图的收缩。

内容

无向图GGG是平面图⇔\Leftrightarrow⇔ GGG中不存在与K5K_5K5或K3,3K_{3,3}K3,3同胚的子图
无向图GGG是平面图⇔\Leftrightarrow⇔ GGG中不存在能收缩成K5K_5K5或K3,3K_{3,3}K3,3的子图

这样的说明更加清晰

应用

边收缩可以增大结点度数

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