1.正交多项式

设φn(x)是[a,b]上首项系数an≠0的n次多项式，ρ(x)为[a,b]上的权函数.设\varphi _n(x)是[a,b]上首项系数a_n\neq 0的n次多项式，\rho (x)为[a,b]上的权函数.设φn(x)是[a,b]上首项系数an=0的n次多项式，ρ(x)为[a,b]上的权函数.
如果多项式序列{φn(x)}0∞\{\varphi _n(x)\}_0^{\infty}{φn(x)}0∞满足关系式
(φj,φk)=∫ab⁣ ⁣ ⁣ρ(x)φj(x)φk(x)dx={0,j≠k,Ak>0,j=k.(\varphi _j,\varphi _k)=\int_a^b\!\!\!\rho (x)\varphi _j(x)\varphi _k(x)\mathrm{d}x=\begin{cases} 0,\qquad\space\space j\neq k,\\ A_k>0,j=k. \end{cases}(φj,φk)=∫abρ(x)φj(x)φk(x)dx={0, j=k,Ak>0,j=k.
则称多项式序列{φn(x)}0∞为在[a,b]上带权ρ(x)正交,称φn(x)为[a,b]上带权ρ(x)的n次正交多项式.则称多项式序列\{\varphi _n(x)\}_0^{\infty}为在[a,b]上带权\rho (x)正交,称\varphi _n(x)为[a,b]上带权\rho (x)的n次正交多项式.则称多项式序列{φn(x)}0∞为在[a,b]上带权ρ(x)正交,称φn(x)为[a,b]上带权ρ(x)的n次正交多项式.

2.勒让德多项式

2.1 定义

当区间为[−1,1],权函数ρ(x)≡1时,由{1,x,…,xn,…}当区间为[-1,1],权函数\rho (x)\equiv 1时,由\{ 1,x,\ldots,x^n,\ldots\}当区间为[−1,1],权函数ρ(x)≡1时,由{1,x,…,xn,…}正交化得到的多项式称为勒让德(Legendre)多项式.并用P0(x),P1(x),…,Pn(x),…表示.正交化得到的多项式称为\textbf{勒让德(Legendre)多项式}.并用P_0(x),P_1(x),\ldots,P_n(x),\ldots表示.正交化得到的多项式称为勒让德(Legendre)多项式.并用P0(x),P1(x),…,Pn(x),…表示.
递推关系(n+1)Pn+1(x)=(2n+1)xPn(x)−nPn−1(x),n=1,2,….其中,P0(x)=1,P1(x)=x(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_n(x)-nP_{n-1}(x),\quad n=1,2,\ldots.其中,P_0(x)=1,P_1(x)=x(n+1)Pn+1(x)=(2n+1)xPn(x)−nPn−1(x),n=1,2,….其中,P0(x)=1,P1(x)=x

2.2 Python实现勒让德多项式

from numpy import pi
from sympy import expand, cos, Poly, solve, Eq
from sympy.abc import x
import numpy as np# 自己原创
def legendre_polynomial(symbol_x, degree):"""实现degree次勒让德(Legendre)多项式:param symbol_x:符号变量:param degree:多项式阶数:return:指定degree阶数的勒让德(Legendre)多项式"""legendre_t_list = np.array([1, symbol_x])if degree in (0, 1):return legendre_t_list[degree]for n in range(1, degree + 1):legendre_t_list[0] = (2 * n + 1) / (n + 1) * symbol_x * legendre_t_list[1] - n / (n + 1) * legendre_t_list[0]# 第一种方式交换legendre_t_listlegendre_t_list = legendre_t_list[::-1]# 第二种方式交换legendre_t_list# legendre_t_list[1], legendre_t_list[0] = legendre_t_list[0], legendre_t_list[1]# 第三种方式交换legendre_t_list# temp = legendre_t_list[1]# legendre_t_list[1]=legendre_t_list[0]# legendre_t_list[0] = tempreturn expand(legendre_t_list[0])

3.切比雪夫多项式

3.1 第一类切比雪夫多项式定义

当权函数ρ(x)=11−x2,区间为[−1,1]时,当权函数\rho (x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}},区间为[-1,1]时,当权函数ρ(x)=1−x21,区间为[−1,1]时,正交化得到的正交多项式就是正交化得到的正交多项式就是正交化得到的正交多项式就是切比雪夫(Chebyshev)多项式,它可表示为\textbf{切比雪夫(Chebyshev)多项式},它可表示为切比雪夫(Chebyshev)多项式,它可表示为
Tn(x)=cos⁡(narccos⁡x),∣x∣⩽1.T_n(x)=\cos (n\arccos x),\vert x\vert \leqslant 1.Tn(x)=cos(narccosx),∣x∣⩽1.
若令x=cos⁡θ,则Tn(x)=cos⁡(nθ),0⩽θ⩽π.x=\cos \theta ,则T_n(x)=\cos (n\theta),0\leqslant \theta \leqslant \pi.x=cosθ,则Tn(x)=cos(nθ),0⩽θ⩽π.
递推关系
Tn+1(x)=2xTn(x)−Tn−1(x),n=1,2,…,T0(x)=1,T1(x)=x.\begin{aligned} T_{n+1}(x)&=2xT_n(x)-T_{n-1}(x),\quad n=1,2,\ldots,\\ T_0(x)&=1,T_1(x)=x. \end{aligned}Tn+1(x)T0(x)=2xTn(x)−Tn−1(x),n=1,2,…,=1,T1(x)=x.

3.2 第二类切比雪夫多项式定义

在区间[−1,1]上带权ρ(x)=1−x2的正交多项式在区间[-1,1]上带权\rho (x)=\sqrt{1-x^2}的正交多项式在区间[−1,1]上带权ρ(x)=1−x2的正交多项式称为第二类切比雪夫多项式,其表达式为称为\textbf{第二类切比雪夫多项式},其表达式为称为第二类切比雪夫多项式,其表达式为
Un(x)=sin⁡[(n+1)arccos⁡x]1−x2.U_n(x)=\frac{\sin [(n+1)\arccos x]}{\sqrt{1-x^2}}.Un(x)=1−x2sin[(n+1)arccosx].
递推关系
U0(x)=1,U1(x)=2x,Un+1(x)=2xUn(x)−Un−1(x),n=1,2,….\begin{aligned} U_0(x)&=1,U_1(x)=2x,\\ U_{n+1}(x)&=2xU_n(x)-U_{n-1}(x),\quad n=1,2,\ldots. \end{aligned}U0(x)Un+1(x)=1,U1(x)=2x,=2xUn(x)−Un−1(x),n=1,2,….

3.3 Python实现两类切比雪夫多项式

# 自己原创
def chebyshev_polynomial(symbol_x, degree, polynomial_kind=1):"""实现degree次切比雪夫(Chebyshev)多项式:param polynomial_kind: 切比雪夫多项式类别，第一类或者第二类,默认第一类:param symbol_x:符号变量:param degree:多项式阶数:return:指定degree阶数的切比雪夫(Chebyshev)多项式"""if polynomial_kind not in (1, 2):raise Exception("Error,chebyshev_polynomial must be the first or second kind,polynomial_kind=1 or 2.")chebyshev_t_list = np.array([1, polynomial_kind * symbol_x])if degree in (0, 1):return chebyshev_t_list[degree]for n in range(degree):chebyshev_t_list[0] = 2 * symbol_x * chebyshev_t_list[1] - chebyshev_t_list[0]# 第一种方式交换chebyshev_t_listchebyshev_t_list = chebyshev_t_list[::-1]# 第二种方式交换chebyshev_t_list# chebyshev_t_list[1], chebyshev_t_list[0] = chebyshev_t_list[0], chebyshev_t_list[1]# 第三种方式交换chebyshev_t_list# temp = chebyshev_t_list[1]# chebyshev_t_list[1]=chebyshev_t_list[0]# chebyshev_t_list[0] = tempreturn expand(chebyshev_t_list[0])

3.4 一般区间的切比雪夫多项式零点

第一类切比雪夫多项式Tn(x)T_n(x)Tn(x)在区间[−1,1]上有n个零点[-1,1]上有n个零点[−1,1]上有n个零点
xk=cos⁡2k−12nπ,k=1,2,…,nx_k=\cos \frac{2k-1}{2n}\pi,\qquad k=1,2,\ldots,nxk=cos2n2k−1π,k=1,2,…,n
第二类切比雪夫多项式Un(x)U_n(x)Un(x)在区间[−1,1]上有n个零点[-1,1]上有n个零点[−1,1]上有n个零点
xk=cos⁡kπn+1,k=1,2,…,nx_k=\cos \frac{k\pi}{n+1},\qquad k=1,2,\ldots,nxk=cosn+1kπ,k=1,2,…,n
由于切比雪夫多项式是在区间[−1,1][-1,1][−1,1]上定义的，对于一般的区间[a,b][a,b][a,b]，要通过变量替换变换到[−1,1]，可令[-1,1]，可令[−1,1]，可令
x=12[(b−a)t+a+b],x=\frac{1}{2}[(b-a)t+a+b],x=21[(b−a)t+a+b],
则可将x∈[a,b]变换到t∈[−1,1].x\in [a,b]变换到t\in [-1,1].x∈[a,b]变换到t∈[−1,1].

3.5 Python实现一般区间的实现切比雪夫多项式零点

# 自己原创
def chebyshev_null_points(degree, a=-1, b=1, polynomial_kind=1):"""利用区间变换和切比雪夫零点求一般区间[a,b]上的插值节点:param polynomial_kind: 切比雪夫多项式类别，第一类或者第二类，默认第一类:param degree: 切比雪夫多项式次数:param a: 区间左端点:param b: 区间右端点:return:指定区间上的切比雪夫插值节点"""if polynomial_kind == 1:return [((b - a) / 2) * cos(((2 * k + 1) / (2 * degree)) * pi) + (b + a) / 2 for k in range(degree)]elif polynomial_kind == 2:return [((b - a) / 2) * cos((k * pi) / (degree + 1)) + (b + a) / 2 for k in range(1, degree + 1)]else:raise Exception("Error,chebyshev_polynomial must be the first or second kind,polynomial_kind=1 or 2.")

4.拉盖尔多项式

4.1 定义

在区间[0,+∞]上带权e−x的正交多项式称为拉盖尔(Laguerre)多项式,其表达式为在区间[0,+\infty]上带权e^{-x}的正交多项式称为\textbf{拉盖尔(Laguerre)多项式},其表达式为在区间[0,+∞]上带权e−x的正交多项式称为拉盖尔(Laguerre)多项式,其表达式为
Ln(x)=exdndxn(xne−x).L_n(x)=e^x\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}(x^ne^{-x}).Ln(x)=exdxndn(xne−x).
递推关系
L0(x)=1,L1(x)=1−x,Ln+1(x)=(1+2n−x)Ln(x)−n2Ln−1(x),n=1,2,….\begin{aligned} L_0(x)&=1,L_1(x)=1-x,\\ L_{n+1}(x)&=(1+2n-x)L_n(x)-n^2L_{n-1}(x),\quad n=1,2,\ldots. \end{aligned}L0(x)Ln+1(x)=1,L1(x)=1−x,=(1+2n−x)Ln(x)−n2Ln−1(x),n=1,2,….

4.2 Python实现拉盖尔多项式

# 自己原创
def laguerre_polynomial(symbol_x, degree):"""实现degree次拉盖尔(laguerre)多项式:param symbol_x:符号变量:param degree:多项式阶数:return:指定degree阶数的拉盖尔(laguerre)多项式"""laguerre_l_list = np.array([1, 1 - symbol_x])if degree in (0, 1):return laguerre_l_list[degree]for n in range(1, degree + 1):laguerre_l_list[0] = (1 + 2 * n - symbol_x) * laguerre_l_list[1] - n * n * laguerre_l_list[0]# 第一种方式交换legendre_t_listlaguerre_l_list = laguerre_l_list[::-1]# 第二种方式交换legendre_t_list# laguerre_l_list[1], laguerre_l_list[0] = laguerre_l_list[0], laguerre_l_list[1]# 第三种方式交换legendre_t_list# temp = laguerre_l_list[1]# laguerre_l_list[1]=laguerre_l_list[0]# laguerre_l_list[0] = tempreturn expand(laguerre_l_list[0])

5.埃尔米特多项式

5.1 定义

在区间[−∞,+∞]上带权e−x2的正交多项式称为埃尔米特(Hermite)多项式,其表达式为在区间[-\infty,+\infty]上带权e^{-x^2}的正交多项式称为\textbf{埃尔米特(Hermite)多项式},其表达式为在区间[−∞,+∞]上带权e−x2的正交多项式称为埃尔米特(Hermite)多项式,其表达式为
Hn(x)=(−1)nex2dndxn(e−x2),H_n(x)=(-1)^ne^{x^2}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}(e^{-x^2}),Hn(x)=(−1)nex2dxndn(e−x2),
递推关系
H0(x)=1,H1(x)=2x,Hn+1(x)=2xHn(x)−2nHn−1(x),n=1,2,….\begin{aligned} H_0(x)&=1,H_1(x)=2x,\\ H_{n+1}(x)&=2xH_n(x)-2nH_{n-1}(x),\quad n=1,2,\ldots. \end{aligned}H0(x)Hn+1(x)=1,H1(x)=2x,=2xHn(x)−2nHn−1(x),n=1,2,….

5.2 Python实现埃尔米特多项式

# 自己原创
def hermite_polynomial(symbol_x, degree):"""实现degree次埃尔米特(hermite)多项式:param symbol_x:符号变量:param degree:多项式阶数:return:指定degree阶数的埃尔米特(hermite)多项式"""hermite_l_list = np.array([1, 2 * symbol_x])if degree in (0, 1):return hermite_l_list[degree]for n in range(1, degree + 1):hermite_l_list[0] = 2 * symbol_x * hermite_l_list[1] - 2 * n * hermite_l_list[0]# 第一种方式交换hermite_t_listhermite_l_list = hermite_l_list[::-1]# 第二种方式交换hermite_t_list# hermite_l_list[1], hermite_l_list[0] = hermite_l_list[0], hermite_l_list[1]# 第三种方式交换hermite_t_list# temp = hermite_l_list[1]# hermite_l_list[1]=hermite_l_list[0]# hermite_l_list[0] = tempreturn expand(hermite_l_list[0])

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