23. 模糊聚类分析原理及实现

聚类分析，就是用数学方法研究和处理所给定对象，按照事物间的相似性进行区分和分类的过程。

传统的聚类分析是一种硬划分，它把每个待识别的对象严格地划分到某个类中，具有非此即彼的性质，这种分类的类别界限是分明的。

随着模糊理论的建立，人们开始用模糊的方法来处理聚类问题，称为模糊聚类分析。由于模糊聚类得到了样本数与各个类别的不确定性程度，表达了样本类属的中介性，即建立起了样本对于类别的不确定性的描述，能更客观地反映现实世界。

本篇先介绍传统的两种(适合数据量较小情形，及理解模糊聚类原理)：基于择近原则、模糊等价关系的模糊聚类方法。

(一)预备知识

一、模糊等价矩阵

定义1 设R=(rij)nn为模糊矩阵，I为n阶单位矩阵，若R满足

i) 自反性：I≤R (等价于rii =1)；

ii) 对称性：RT=R;

则称R为模糊相似矩阵，若再满足

iii) 传递性：R2≤R(等价于)

则称R为模糊等价矩阵。

定理1 设R为n阶模糊相似矩阵，则存在一个最小的自然数k(k=lamda(m)))=1;

y=X;

例3某地区设有11个雨量站，其分布如图所示：

10年来各雨量站测得的年降雨量表如下：

现因经费问题，希望撤销几个雨量站，问撤销哪些雨量站而不会太多地减少降雨信息？

分析：对11个雨量站进行模糊聚类，同一类的只需保留一个即可。比如，已知该市决定撤销6个只保留5个雨量站，则模糊聚类为5类。

代码：

load data;

%数据归一化

[X,ps]=mapminmax(data,0,1);

X=X;

%选择计算相似程度的方法

type=3; % c=0.1, a=1, 此时也称绝对值减数法

%求模糊相似矩阵R0

R0=fuz_distance(X,type)

%将模糊相似矩阵R0改造成模糊等价矩阵R

[R,k]=tran_R(R0)

%求将样本分成8类的λ-截矩阵

R_lamda=fuz_lamda(R,8)

运行结果及说明：

归一化后的数据矩阵X:

模糊相似矩阵R0:

由R0改造成的模糊等价矩阵R:

k = 8 说明R16=R8.

将样本分为5类的λ-截矩阵R_lamda:

可以判断5类分别是：

{x1, x7} {x2, x4, x5, x6} {x3, x9} {x8, x11} {x10}

注：对于这类C均值模糊聚类问题，也可以直接调用Matlab自带的模糊聚类函数fcm.m求解。调用方式：

[center,U, obj_fcn,]=fcm(data,cluster_n)

其中，data为归一化后的样本数据，每一行是一个样本；cluster_n为聚类数；center返回最终的聚类中心矩阵；U为最终的模糊分区矩阵；obj_fcn为迭代过程中的目标函数值(越小越好)。

代码：(X为前面已归一化的样本数据)

[center,U, obj_fcn]=fcm(X,5)

maxU=max(U);

index1 = find(U(1,:)==maxU); %第一类

index2 = find(U(2,:)==maxU); %第二类

index3 = find(U(3,:)==maxU); %第三类

index4 = find(U(4,:)==maxU); %第四类

index5 = find(U(5,:)==maxU); %第五类

class1=X(index1,:) %第一类中的样本数据

class2=X(index2,:) %第二类中的样本数据

class3=X(index3,:) %第三类中的样本数据

class4=X(index4,:) %第四类中的样本数据

class5=X(index5,:) %第五类中的样本数据

运行结果略，对比class1-class5与X, 得到分类结果与前文相同。另外，分为5类的obj_fcn=1.0578, 如何选取合适的分类数，使得obj_fcn达到最小(最优模糊聚类)放到下一篇。