信号课组（一） 信号与系统 Review 1 信号与系统综述
文章目录
- 1. 信号的能量和功率
- 2. 自变量变换
- 2.1. 时移和时变
- 2.2. 周期性
- 2.3. 奇偶性
- 3. 典型信号与重要的奇异信号
- 3.1. 指数信号和正弦信号
- 3.2. 单位阶跃信号
- 3.3. 单位冲激信号
- 4. 基本的系统性质
- 4.1. 因果性
- 4.2. 记忆性
- 4.3. 线性
- 4.4. 时不变性
- 4.5. 稳定性
- 4.6. 可逆性
1. 信号的能量和功率
信号主要分为两种，连续信号和离散信号，连续信号采样可以得到离散信号，离散信号也可以恢复成为连续信号。
关于信号本身最重要的概念是能量和功率。
对于电功率一般定义为：
1t2−t1∫t1t2p(t)dt=1t2−t1∫t1t21Rv2dt\frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}p(t)\,\mathrm dt= \frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}\frac{1}{R}v^2\,\mathrm dt t2−t11∫t1t2p(t)dt=t2−t11∫t1t2R1v2dt
这个例子给出了我们定义能量和功率的一个思路。由于信号可能是复数，通过平方将为我们提供极大的便利。
随后考虑去掉常数，更简单地定义一个信号的能量和功率。
2. 自变量变换
2.1. 时移和时变
高中考点：函数的平移和伸缩变换综合应用
一般地讨论：
- Q1：如何绘制Ax(at+b)Ax(at+b)Ax(at+b)：先向左平移bbb，然后将横坐标变为原来的1a\frac{1}{a}a1，纵坐标变为原来的AAA倍。或者先压缩，再平移ba\frac{b}{a}ab
- Q2（DSP）：通过x[n]x[n]x[n]，构成x[an]x[an]x[an]中可能出现无定义或者信息损失。a∈N,∣a∣>1a\in \N, |a| > 1a∈N,∣a∣>1时，比如a=2a = 2a=2，此时奇数无定义，如果无定义处补齐称为内插。若∣a∣<1|a|<1∣a∣<1，比如a=12a=\frac{1}{2}a=21时，信息发生损失，称为抽取。
2.2. 周期性
基波周期（Fundamental Period）：最小正周期
思考
- Q1：无基波周期的周期函数？Dirichlet函数
- Q2：周期函数相加不一定是周期函数，比如T1T2=π\displaystyle\frac{T_1}{T_2} = \piT2T1=π，由于无最小公倍数，加和所得函数的周期将趋近无穷大。
- Q3：fff和ggg是TTT为基波周期的函数，相加所得函数的可能周期为Tm,m∈N\frac{T}{m}, m\in\NmT,m∈N
- Q4：fff和ggg分别是TTT和2T2T2T为基波周期的函数，相加所得函数的可能周期为2T2m+1,m∈N\frac{2T}{2m+1},m\in\N2m+12T,m∈N
- 对两个函数可以构造出更小的基波周期的函数，我们可以反向理解。我们可以通过先构造2T3\frac{2T}{3}32T为基波周期的HHH函数，然后同fff相加，就可以得到ggg
- 分母不能为偶数，否则利用如上的方法，上下约分之后，得到ggg的周期为TTT，这是矛盾的。
2.3. 奇偶性
Ev{x(t)}=△x(t)+x(−t)2Od{x(t)}=△x(t)−x(−t)2\mathrm{Ev}\{x(t)\}\xlongequal{\triangle}\frac{x(t)+x(-t)}{2}\\ \mathrm{Od}\{x(t)\}\xlongequal{\triangle}\frac{x(t)-x(-t)}{2}Ev{x(t)}△2x(t)+x(−t)Od{x(t)}△2x(t)−x(−t)
δ\deltaδ函数为偶函数。
3. 典型信号与重要的奇异信号
3.1. 指数信号和正弦信号
复指数在工程上不存在，但为数学的分析提供了便利。
3.2. 单位阶跃信号
- 是冲激函数的积分。
- 用于截取正向的信号
3.3. 单位冲激信号
极限定义比较直观但数学上不易使用。利用Dirac定义和分布函数定义更易使用。
∫−∞∞δ(t)dt=1δ(t)=0,(t≠0)\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)\,\mathrm dt = 1\\ \delta(t) = 0, (t \not =0) ∫−∞∞δ(t)dt=1δ(t)=0,(t=0)
4. 基本的系统性质
4.1. 因果性
不依赖未来（非记忆也可）情况，物理可实现的系统均具有因果性，表示如下：
y(t)=∑i=0nx(t−ti)y(t) = \sum\limits_{i = 0}^n x(t-t_i) y(t)=i=0∑nx(t−ti)
其中ti≥0t_i \geq 0ti≥0则称为因果系统。
例 y(t)=x(t3)y(t) = x(\frac{t}{3})y(t)=x(3t)不是因果系统，t<0t<0t<0时，系统取决于未来的情况。y(t)=dxdty(t)=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}y(t)=dtdx当导数通过右导数定义时，就是非因果的。
4.2. 记忆性
记忆性可以看成非因果系统的扩充。
非因果系统一定是记忆系统。这句话反过来说，非记忆系统一定是因果系统。
- 按照定义，非因果系统也称为记忆系统
- 通常，利用导数定义的系统都会有记忆性（通过积分，可以把过去的情况呈现在当下）
- 实际系统中，记忆直接与能量存储相关
4.3. 线性
齐次性+可加性
线性的证明通常判别两个不同如数的输出是否可以按权加和输出。
反例\color{#FF0000}{反例}反例
y(t)=x(t)+1y(t) = x(t) + 1 y(t)=x(t)+1
不是一个时不变系统。但是除去常数部分之后，具有线性，因而称为增量线性系统看似反例的例1\color{#FF0000}{看似反例的例1}看似反例的例1y(t)=2y(1)+x(t)y(t) = 2y(1) + x(t) y(t)=2y(1)+x(t)
代入t=1t = 1t=1，可求y(1)=−x(1)y(1) = -x(1)y(1)=−x(1)，从而使得原式化简为：
y(t)=−x(1)+x(t)y(t)=-x(1)+x(t) y(t)=−x(1)+x(t)
此例是一个线性系统。同上一例不同的是，看似是常数的x(1)x(1)x(1)实际上是与输入函数相关的。
与输入关联和非关联的输出成分，分别对应后面讲到的零状态相应和零输出响应。
4.4. 时不变性
激励和响应可以成对进行时移而不发生变化。在不同的时间点施加激励，得到的结果应该只表现为时间的变化，即分别对自变量进行时移和对输入函数进行时移得到的结果相同。
这一点说明，如果内层有使其加倍的，那么将成为时变的，因为时移也被再映射了。
- 反例\color{#FF0000}{反例}反例 y(t)=x(2t)y(t) = x(2t)y(t)=x(2t)就是一个时变系统？
x(2t−t0)≠y(t−t0)=x(2(t−t0))=x(2t−2t0)x(2t - t_0)\not = y(t-t_0) = x(2(t-t_0)) = x(2t-2t_0) x(2t−t0)=y(t−t0)=x(2(t−t0))=x(2t−2t0)
等号左边对应于激励的时移，在右边发现与响应的时移并不对等。
4.5. 稳定性
使系统倾向于收束。
稳定性判据：BIBO
也可以利用微分方程定性分析稳定。
4.6. 可逆性
可以建立激励信号和响应信号的一一对应
- 多个激励信号通过不同程度时移进行线性组合时，容易构造出特定的时间特性的函数进行
- 不丢失定义域（原系统利用内插进行定义）
对应这两个问题，有以下两组反例：
- 反例1\color{#FF0000}{反例}1反例1 y(t)=x(t)+x(1−t)y(t) = x(t) + x(1-t)y(t)=x(t)+x(1−t)，反例就可以是利用两个时移激励的对称特性构造，如u(t)u(t)u(t)和u(1−t)u(1-t)u(1−t)
- 反例2\color{#FF0000}{反例}2反例2
- y(t)=x(2t)y(t) = x(2t)y(t)=x(2t)是可逆的
- y[n]=x[2n]y[n] = x[2n]y[n]=x[2n]是不可逆的
- y(t)=x(t)(a+cos(ωt))y(t) = x(t)(a+\cos(\omega t))y(t)=x(t)(a+cos(ωt))，无论xxx是什么，只要∣a∣≤1|a| \leq 1∣a∣≤1则一定会出现多个零点，此时是不可逆的。
因为定义域上部分点数据丢失，这些点上即便激励不同响应都相同且为0。
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