第3讲

3.1 理论部分

这一部分要点如下。3-5均为欧式变换所涉及的方式，此外，非欧式变换会改变刚体外形，如6中的几种变换。

1）线性代数基础

向量内积：a⋅b=aTb=∑i=13aibi=∣a∣∣b∣cos<a,b>\pmb{a}·\pmb{b}=\pmb{a}^T\pmb{b}=\sum_{i=1}^3a_ib_i=|\pmb{a}||\pmb{b}|cos<\pmb{a},\pmb{b}>aaa⋅bbb=aaaTbbb=∑i=13aibi=∣aaa∣∣bbb∣cos<aaa,bbb>；
向量外积：a×b=a^b\pmb{a}×\pmb{b}=\pmb{a}\hat{}\ \pmb{b}aaa×bbb=aaa^ bbb，其中a^\pmb{a}\hat{}aaa^指反对称矩阵，有的书中也表示为a×\pmb{a}^×aaa×。

2）刚体运动&坐标系间欧式变换

刚体运动：一个旋转加一个平移，用于表示世界系和相机系（或机器人系）之间的关系，用欧式变换来描述；
欧式变换：由旋转和平移组成。旋转部分为一个旋转矩阵R\pmb{R}RRR（也叫方向余弦矩阵，3×3维），具有行列式为1和正交的性质，nnn维旋转矩阵的集合定义为SO(n)SO(n)SO(n)，由nnn维空间的旋转矩阵组成，SO(n)SO(n)SO(n)指nnn维空间的特殊正交群；平移部分为一个平移向量t\pmb{t}ttt（3×1维）。

3）变换矩阵

为便于多次欧式变换的描述，引入齐次坐标将旋转矩阵和平移向量放在一个矩阵中，形成变换矩阵T\pmb{T}TTT（4×4维）；
变换矩阵可用于描述位姿，nnn维变换矩阵的集合定义为SE(n)SE(n)SE(n)，指特殊欧式群，这里虽然变换矩阵为4×4维，但SE(n)SE(n)SE(n)仍表示为SE(3)SE(3)SE(3)，应该是由于其描述的仍是3维空间的变换。

4）旋转向量和欧拉角

为解决表达冗余问题，将旋转矩阵R\pmb{R}RRR用一个旋转轴和一个旋转角来刻画，即变换为一个旋转向量（角轴或轴角），转换过程采用罗德里格斯公式；将变换矩阵T\pmb{T}TTT表达为一个旋转向量和一个平移向量；
欧拉角可用于直观表示，但存在奇异性问题（万向锁），使系统丢失一个自由度（由于俯仰角为±90°，x与z轴同轴）。

5）四元数

四元数是一种不带奇异性也不过分冗余的描述方式，可用于描述三维旋转，其与旋转向量之间可进行相互转换；
使用时，将空间三维点表示为一个纯虚四元数p\pmb{p}ppp，对其做单位四元数q\pmb{q}qqq指定的旋转，则通过p′=qpq−1\pmb{p}^\prime=\pmb{q}\pmb{p}\pmb{q}^{-1}ppp′=qqqpppqqq−1可得到旋转后的点p′\pmb{p}^\primeppp′。

6）非欧式变换

相似变换：允许物体均匀缩放，自由度为7，该缩放因子sss在变换矩阵T\pmb{T}TTT中乘在旋转矩阵R\pmb{R}RRR前，三维相似变换集合称为相似变换群，Sim(3)Sim(3)Sim(3)；
仿射变换：仅保持各面平行，自由度为12，旋转矩阵R\pmb{R}RRR为可逆矩阵A\pmb{A}AAA即可，不必正交；
射影变换：仅保证接触平面的相交和相切，自由度为15。

3.2 实践部分

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