一、延迟算子

1、一阶差分
Δ y t = y t − y t − 1 = ( 1 − B ) y t \Delta{y_t}=y_t-y_{t-1}=(1-B)y_t Δyt=yt−yt−1=(1−B)yt
2、二阶差分
Δ 2 y t = ( 1 − B ) 2 y t = ( y t − y t − 1 ) − ( y t − 1 − y t − 2 ) \Delta^{2}{y_t}=(1-B)^2y_t=(y_t-y_{t-1})-(y_{t-1}-y_{t-2}) Δ2yt=(1−B)2yt=(yt−yt−1)−(yt−1−yt−2)
3、n阶差分
Δ n y t = ( 1 − B ) n y t \Delta^{n}{y_t}=(1-B)^ny_t Δnyt=(1−B)nyt

二、AR model

1、AR(1)模型，如下：
y t = ϕ y t − 1 + ε t y_t=\phi y_{t-1}+\varepsilon_t yt=ϕyt−1+εt
用延迟算子表示AR(1)模型，如下：
( 1 − ϕ B ) y t = ε t (1-\phi B)y_t=\varepsilon_t (1−ϕB)yt=εt
2、AR( p )模型，如下：
y t = ϕ 1 y t − 1 + ϕ 2 y t − 2 + . . . + ϕ p y t − p + ε t y_t=\phi_1y_{t-1}+\phi_2y_{t-2}+...+\phi_py_{t-p}+\varepsilon_t yt=ϕ1yt−1+ϕ2yt−2+...+ϕpyt−p+εt
用延迟算子表示AR( p )模型，如下：
( 1 − ϕ 1 B − ϕ 2 B 2 − . . . − ϕ p B p ) y t = ε t (1-\phi_1B-\phi_2B^2-...-\phi_pB^p)y_t=\varepsilon_t (1−ϕ1B−ϕ2B2−...−ϕpBp)yt=εt

三、MA model

MA(q)模型，如下：
y t = ε t + θ 1 ε t − 1 + θ 2 ε t − 2 + . . . + θ q ε t − q y_t=\varepsilon_t+\theta_1\varepsilon_{t-1}+\theta_2\varepsilon_{t-2}+...+\theta_q\varepsilon_{t-q} yt=εt+θ1εt−1+θ2εt−2+...+θqεt−q
用延迟算子表示MA(q)模型，如下：
y t = ( 1 + θ 1 B + θ 2 B 2 + . . . + θ q B q ) ε t y_t=(1+\theta_1B+\theta_2B^2+...+\theta_qB^q)\varepsilon_t yt=(1+θ1B+θ2B2+...+θqBq)εt

四、ARMA model

令 ϕ ( B ) = 1 − ϕ 1 B − ϕ 2 B 2 − . . . − ϕ p B p , θ ( B ) = 1 + θ 1 B + θ 2 B 2 + . . . + θ q B q \phi(B)=1-\phi_1B-\phi_2B^2-...-\phi_pB^p,\theta(B)=1+\theta_1B+\theta_2B^2+...+\theta_qB^q ϕ(B)=1−ϕ1B−ϕ2B2−...−ϕpBp,θ(B)=1+θ1B+θ2B2+...+θqBq,于是ARMA(p,q)模型可以表示为：
ϕ ( B ) y t = θ ( B ) ε t \phi(B)y_t=\theta(B)\varepsilon_t ϕ(B)yt=θ(B)εt

五、ARIMA model

ARIMA(p,d,q)模型可以表示为：
ϕ ( B ) y t ∗ = θ ( B ) ε t \phi(B)y_t^{*}=\theta(B)\varepsilon_t ϕ(B)yt∗=θ(B)εt
其中 y t ∗ = Δ d y t = ( 1 − B ) d y t y_t^{*}=\Delta^{d}y_t=(1-B)^{d}y_t yt∗=Δdyt=(1−B)dyt.

六、加法季节ARIMA model

考虑加法季节效应时，令$p=1,d=1,q=(1,0,0,1)，模型可表示为：
Δ y t = ϕ Δ y t − 1 + θ 1 ε t − 1 + θ 2 ε t − 4 \Delta y_t=\phi \Delta y_{t-1}+\theta_1\varepsilon_{t-1}+\theta_2 \varepsilon_{t-4} Δyt=ϕΔyt−1+θ1εt−1+θ2εt−4

七、乘法季节ARIMA model

1、乘法季节模型SARIMA(p,d,q) × \times ×(P,D,Q,s)
ϕ p ( B ) ϕ ~ P ( B s ) y t ∗ = θ q ( B ) θ ~ Q ( B s ) ε t \phi_p(B)\widetilde{\phi}_P(B^s)y_t^{*}=\theta_q(B)\widetilde{\theta}_Q(B^s)\varepsilon_t ϕp(B)ϕ P(Bs)yt∗=θq(B)θ Q(Bs)εt
其中， y t ∗ = A ( t ) + Δ d Δ s D y t = ( 1 − B ) d ( 1 − B s ) D y t y_t^{*}=A(t)+\Delta^d\Delta_s^{D}y_t=(1-B)^d(1-B^s)^Dy_t yt∗=A(t)+ΔdΔsDyt=(1−B)d(1−Bs)Dyt.

ϕ p ( B ) \phi_p(B) ϕp(B)：非季节性自回归滞后多项式
ϕ ~ P ( B s ) \widetilde{\phi}_P(B^s) ϕ P(Bs)：季节性自回归滞后多项式
θ q ( B ) \theta_q(B) θq(B)：非季节性移动平均滞后多项式
θ ~ Q ( B s ) \widetilde{\theta}_Q(B^s) θ Q(Bs)：季节性移动平均滞后多项式
A ( t ) A(t) A(t)：趋势多项式，可以是常数

2、特别地，SARIMA(1,1,1) × \times ×(1,1,0,12)可以表示为：
( 1 − ϕ B ) ( 1 − ϕ ~ B 12 ) y t ∗ = ( 1 − θ B ) ε t (1-\phi B)(1-\widetilde{\phi}B^{12})y_t^{*}=(1-\theta B)\varepsilon_t (1−ϕB)(1−ϕ B12)yt∗=(1−θB)εt
其中， y t ∗ = Δ Δ 12 y t = ( 1 − B ) ( 1 − B 12 ) y t y_t^{*}=\Delta\Delta_{12}y_t=(1-B)(1-B^{12})y_t yt∗=ΔΔ12yt=(1−B)(1−B12)yt.

参考文档

[1] http://devdoc.net/python/statsmodels-0.8.0/examples/notebooks/generated/statespace_sarimax_stata.html

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