泰勒级数与麦克劳伦级数

本文仅仅是自己的一些个人见解，如果有什么错误或者不严谨的地方，欢迎大家温柔地指正 : )

泰勒级数的意义

在开始讨论泰勒级数与麦克劳伦级数之前，我想先思考一下，为什么泰勒级数展开如此重要。
其实从上初中的时候开始我就有一个疑问，像类似于对变量进行加减乘除平方这样的操作组成的代数式我们都可以通过自己的手算甚至是心算就可以得出结论，即使这个式子有时候看起来十分的复杂。但是一旦涉及到了求正弦函数，对数函数，指数函数这种不明所以，不知道从哪算起的计算符号，我们就会无从下手。我们知道的也仅仅是这些函数在某些特定点的值，比如sin/cos(0),sin/cos(45°),ln/log(1),ln(e)sin/cos(0),sin/cos(45\degree),ln/log(1),ln(e)sin/cos(0),sin/cos(45°),ln/log(1),ln(e),这些值也不是我们自己通过计算得到的，多是我们先从老师那知道了这些数值，然后理解了这些函数的定义，并告诉自己这些值就该是这样的。
但是当我们在做题中，碰到了一些奇奇怪怪的输入值，比如sin(55°)sin(55\degree)sin(55°)，我们就只能依赖我们的好朋友-计算器了。计算器怎么这么厉害，或者说设计计算器的人是怎么设计它让它能够计算出来这些函数的值，诸如此类的困惑直到我大学学到了泰勒级数展开，明白了计算机计算正弦函数也是要通过对它进行泰勒展开，通过多项式的叠加来逼近真实值得到的，才得以解开。

泰勒公式

再广泛点来说，当我们在处理一个工程问题时，我们想要得到一个函数在某一点周围的变化值，但是这个函数十分复杂，甚至不可描述：）,我们就可以通过在该点做泰勒级数展开，逼近该点周围函数的变化。当然了，泰勒级数也不是那么随便的，让我们说展开就展开。想要通过泰勒级数展开使用多项式逼近函数的真实值，我们也需要提供一些有用的参考信息，也就是函数在展开点处的导数，导数的导数，导数的导数的导数。。。（泰勒公式：我不管你是用求导数的方法计算得到，还是用零阶采样的方法得到，反正你要给我这些导数，这样本大能才能了解这个函数的变化的变化的变化的变化，然后用多项式辅助你去做你想要的函数的近似。）
有了这些想法后，我们再来看一看维基百科对泰勒公式的定义：
“ 在数学中，泰勒公式（英语：Taylor’s Formula）是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。这个公式来自于微积分的泰勒定理（Taylor’s theorem），泰勒定理描述了一个可微函数，如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值，这个多项式称为泰勒多项式（Taylor polynomial）。泰勒公式还给出了余项即这个多项式和实际的函数值之间的偏差。 ”
以及，设 n 是一个正整数。如果定义在一个包含 a 的区间上的函数 f 在 a 点处 n+1 次可导，那么对于这个区间上的任意 x，都有：

其中的多项式称为函数在a 处的泰勒展开式，剩余的 Rn(x)R_n(x)Rn(x) 是泰勒公式的余项，是(x−a)n(x-a)^n(x−a)n 的高阶无穷小。
上述公式也可以写作，
f(x)=∑n=0Nf(n)(a)n!(x−a)n+Rn(x)f(x)=\sum^N_{n=0}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_n(x)f(x)=n=0∑Nn!f(n)(a)(x−a)n+Rn(x)
(
注：这里回忆一下高阶无穷小的定义，定义来自百度百科-高阶无穷小。
若lim(β/α)=0，则称“β是比α较高阶的无穷小”。意思是在某一过程(x→x0或x→∞这类过程)中，β→0比α→0快一些
基本概念
对于两个无穷小量 α\alphaα和 β\betaβ，如果 lim(α/β)=0，就把α\alphaα叫做比β\betaβ高阶的无穷小量，并把β\betaβ叫做比α\alphaα低阶的无穷小量；简称α\alphaα是β\betaβ的高阶无穷小，β\betaβ是α\alphaα的低阶无穷小，记成α=o(β)\alpha=o(\beta)α=o(β)。
如果limαβk=Clim\frac{\alpha}{\beta^k}=Climβkα=C，其中C为异于零的常数，这时把α\alphaα叫做β\betaβ的k阶无穷小。
例如，因为
，
所以,x→0x\rightarrow0x→0时，3x23x^23x2是比xxx较高阶的无穷小，意思是说在x→0x\rightarrow0x→0的过程中3x23x^23x2比xxx趋向0的速度快。
)

泰勒公式与麦克劳伦劳伦公式的关系

当泰勒公式中的a=0a=0a=0时，该公式又被称为麦克劳伦公式。它其实就是泰勒公式的展开点为0时的一种特殊情况。下面是我自己关于它们二者关系的一些想法，如有问题欢迎指正，温柔滴。
其实二者并无什么本质上的区别，都可以用来对目标函数做近似。特别是当我们设x−a=yx-a=yx−a=y，并将yyy带入泰勒公式，我们发现其实泰勒公式就变成了变量为y的麦克劳伦公式。所以想要理解泰勒公式，去理解相对简单的麦克劳伦公式就行啦。
既然这样的话，为什么我们还要在不同的点，或者说我们的目标点处做泰勒展开呢？因为在大部分情况下，求一个函数的高阶导数是非常困难的，甚至是不可能的。不仅仅是计算复杂度的问题，也有可能该函数就不存在高阶导数。
因为泰勒公式的余项代表了多项式和实际的函数值之间的偏差，也就是说我们展开的阶数越低和实际函数值的偏差也越大，能够让多项式的值代替实际函数值的可行域也就越小。这时候如果目标点和0点距离非常远，我们还傻不拉几的用在0点处求得到的函数近似去计算目标点周围的函数值，误差肯定会比直接在目标点处做展开大得多。

泰勒公式的一些例子以及几何意义

这个部分我看了知乎上一个很不错的答主马同学在问题如何通俗地解释泰勒公式？中的回答，受益匪浅。但是由于我本人对这块不是很感兴趣，这里就不再做总结了。感兴趣的读者请移步该问题。

泰勒公式为啥能用，或者说为啥一定要用多项式函数去替代目标函数的值

我相信很多人在学泰勒公式的时候都有过这个疑问，但是看了很多回答发现大家都是在解释泰勒级数的意义。但是为什么泰勒级数要使用那么多的x0−nx^{0-n}x0−n项式以及那么有规律的，还涉及到阶乘的常数项？它的效果为什么这么好？它的近似值保真么？（咱们出去买个瓜，还非得多嘴地问一句瓜农，这瓜保甜么。）
还是在刚才的那个知乎问题如何通俗地解释泰勒公式？中，看到了一个让我醍醐灌顶的答案。由于答主的知乎账号貌似注销了。。所以这里我截个图，方便大家能找到原回答。

该回答仍然以麦克劳伦公式为例，将其转化为了如下的形式:
f(x)=∑n=0Nf(n)(0)xnn!f(x)=\sum^N_{n=0}f^{(n)}(0)\frac{x^n}{n!}f(x)=n=0∑Nf(n)(0)n!xn
貌似现在还是看不出来什么神奇的地方对吧。但是如果我们知道了多项式xnx^nxn的n阶导数就是n的阶乘n!n!n!，我们对函数f(x)f(x)f(x)在x=0x=0x=0处求n阶导数，我们发现公式中包含n阶的多项式之前的所有低阶项的导数都变为了0，所以都不复存在了。而n阶之后的高阶项由于要带入x=0x=0x=0，所以也都为0。此时，该公式就变为，
f(n)(x=0)=f(n)(0)n!n!=f(n)(0)f^{(n)}(x=0)=f^{(n)}(0)\frac{n!}{n!}=f^{(n)}(0)f(n)(x=0)=f(n)(0)n!n!=f(n)(0)
引用原回答中的总结：
“
总结：泰勒公式的灵魂是导数值，而非幂函数。在展开的这一点，泰勒展开式与f(x)的每一阶导数值都完全相等。而这种“各阶导数值相等”，揭示了多项式函数和它想要替代的复杂函数f(x)在「每一个维度上完全相同」的奇妙的事实。
打个不精确的比方，在「某一时刻」，有两个「独立的人」，一个人叫张三，一个人叫李四。张三想让李四替代自己去上学。在这一时刻，李四和张三的长相相同（函数值相同），体型相同（一阶导数值相同），声音相同（二阶导数值相同），那我们就可以认为，或许在这一刻，让李四替代张三是比较合理的。如果在更深入的维度上，他们具有相同的智商（三阶导数值相同），具有相同的记忆（四阶导数值相同），那么用李四替代张三就更合理了。如果他们具有相同的喜恶（五阶导数值相同），具有相同的三观（六阶导数值相同），那么用李四替代张三就越来越合理了。这也是为什么泰勒公式展开越多项，在展开这一点的附近就越接近f(x)本身。
现在再看一眼公式，大家能「理所当然」地理解为啥泰勒公式能够如此展开了吗？你在写出展开式的时候，内心活动应该如下：

在x=0x=0x=0这一点，他们的函数值相同，所以写出第一项f(0)f(0)f(0)。
他们的1阶导数值相同，所以写下f′(0)f'(0)f′(0)；要求求1阶导的结果为f′(0)f'(0)f′(0)，那么后面得添上xxx。
他们的2阶导数值相同，所以写下f′′(0)f''(0)f′′(0)；要求求2阶导的结果为f′′(0)f''(0)f′′(0)，那么后面得添x22!\frac{x^2}{2!}2!x2上。
他们的n阶导数值相同，所以写下f(0)f(0)f(0)的n阶导数值；要求求n阶导的结果为f(0)f(0)f(0)的n阶导数值，那么后面得添上xnn!\frac{x^n}{n!}n!xn！

”

最后再补一个看着还不错的书，书貌似本身是讲金融的，不算硬核，但是举得例子不错，适合入门：
Value-at-Risk