Python科学计算系列12

1.拉普拉斯变换及逆变换

拉普拉斯变换公式

$L(s)=\varphi [f(t)]=\int_{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt(s\in C,s=\sigma +i\omega ,\sigma\geqslant 0)$

拉普拉斯逆变换公式

例子：

$sinat\rightarrow \frac{a}{s^{2}+a^{2}}$

$e^{at}\rightarrow \frac{1}{s-a}$

$\frac{1}{s^{2}}\rightarrow t$

$\frac{1}{(s-a)^{2}}\rightarrow te^{at}$

代码如下：

from sympy import *
from sympy.integrals import laplace_transformt, s, a = symbols('t s a')
# 拉普拉斯变换
F1 = laplace_transform(sin(a * t), t, s)
F2 = laplace_transform(exp(a * t), t, s)
print(F1, F2, sep='\n')
# 拉普拉斯逆变换
f1 = inverse_laplace_transform(s ** -2, s, t)
f2 = inverse_laplace_transform((s - a) ** -2, s, t)
print(f1, f2, sep='\n')

运行结果：

2.傅里叶变换及逆变换

傅里叶变换公式

$F(\xi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty }^{\infty}f(x)e^{i\xi x}dx$

傅里叶逆变换公式

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty }^{\infty}F(\xi)e^{-i\xi x}d\xi$

例子：

$e^{-2x^{2}}\rightarrow \sqrt{\frac{\pi}{2}}e^{\frac{-\pi^{2}k^{2}}{2}}$

$\sqrt{\pi}e^{-\pi^{2}k^{2}} \rightarrow e^{-x^{2}}$

代码如下：

from sympy import *
from sympy.integrals import fourier_transformx, k, a = symbols('x k a')
# 傅里叶变换
F = fourier_transform(exp(-2 * x ** 2), x, k)
# 傅里叶逆变换
f = inverse_fourier_transform(sqrt(pi) * exp(-(pi * k) ** 2), k, x)
print(F, f, sep='\n')

运行结果：

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