逻辑斯蒂 (阻滞增长) 模型的分析和应用

1. 阻滞增长Logistic 模型

模型假设: 在独立存在的生物群体中，生物种群数量的变化率λy\lambda_yλy 是一个随着生物种群数量yyy的增加而线性递减的变量 [1]。

问题描述: 不妨令xxx表示时间，yyy表示生物种群的数量，生物种群的变化率为λy\lambda_yλy，环境所能容纳的生物种群数量的最大值为ymy_mym。根据Logistic模型的假设，任意给定时间短Δx\Delta xΔx，生物种群数量的变化量为 y(x+Δx)−y(x)=λyy(x)Δxy(x+\Delta x)-y(x)=\lambda_y y(x)\Delta xy(x+Δx)−y(x)=λyy(x)Δx，其中，当x=0x=0x=0时刻，y=y0y=y_0y=y0；当y=0y=0y=0时刻；λy=λ\lambda_y=\lambdaλy=λ；当y=ymy=y_my=ym时刻，λy=0\lambda_y=0λy=0。试求生物种群的数量yyy和时间xxx的函数。

模型求解: 根据问题描述，如下，

λy={λ,  y=00,  y=ym\lambda_y=\left\{\begin{matrix}\lambda,\;\;y=0\\ 0,\;\;y=y_m\end{matrix}\right.λy={λ,y=00,y=ym

根据模型假设，生物种群的变化率λy\lambda_yλy是一个随着生物种群数量yyy的增加而线性递减的量，得，

λy=−λymy+λ\lambda_y=-\frac{\lambda}{y_m}y+\lambdaλy=−ymλy+λ

根据y(x+Δx)−y(x)=λyy(x)Δxy(x+\Delta x)-y(x)=\lambda_y y(x)\Delta xy(x+Δx)−y(x)=λyy(x)Δx，取lim⁡Δx→0Δx\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta xlimΔx→0Δx，得微分方程，如下，

dy=λyydxdy=\lambda_y y dxdy=λyydx

dy=(−λymy+λ)ydxdy=(-\frac{\lambda}{y_m}y+\lambda) y dxdy=(−ymλy+λ)ydx

当y∈(0,ym)y \in \left ( 0,y_m \right )y∈(0,ym)时，有，

dyy−y2ym=λdx\frac{dy}{y-\frac{y^2}{y_m}}=\lambda dxy−ymy2dy=λdx

ymymy−y2dy=λdx\frac{y_m}{y_my-y^2}dy=\lambda dxymy−y2ymdy=λdx

ym−y+yymy−y2dy=λdx\frac{y_m-y+y}{y_my-y^2}dy=\lambda dxymy−y2ym−y+ydy=λdx

(1y+1ym−y)dy=λdx\left ( \frac{1}{y} + \frac{1}{y_m-y} \right ) dy=\lambda dx(y1+ym−y1)dy=λdx

方程两边不定积分，如下，

∫(1y+1ym−y)dy=∫λdx\int \left ( \frac{1}{y} + \frac{1}{y_m-y} \right ) dy = \int \lambda dx∫(y1+ym−y1)dy=∫λdx

得到原函数，如下，

lny−ln(ym−y)=λx+clny-ln(y_m-y)=\lambda x + clny−ln(ym−y)=λx+c

y=ymeλx+c1+eλx+cy=\frac{y_me^{\lambda x+c}}{1+e^{\lambda x+c}}y=1+eλx+cymeλx+c

代入给定条件x=0,y=y0x=0, y=y_0x=0,y=y0，进一步求解常数ccc，如下，

y0=ymec1+ecy_0=\frac{y_m e^c}{1+e^c}y0=1+ecymec

c=ln(y0ym−y0)c=ln\left ( \frac{y_0}{y_m-y_0} \right )c=ln(ym−y0y0)

将常数ccc代入原函数，得，

y=ymeλxy0ym−y01+eλxy0ym−y0y=\frac{y_m e^{\lambda x}\frac{y_0}{y_m-y_0}}{1+e^{\lambda x}\frac{y_0}{y_m-y_0}}y=1+eλxym−y0y0ymeλxym−y0y0

y=ym1+(ymy0−1)e−λxy=\frac{y_m}{1+\left ( \frac{y_m}{y_0} -1 \right ) e^{-\lambda x}}y=1+(y0ym−1)e−λxym

2. 小结与展望

阻滞增长Logistic 模型和马尔萨斯模型唯一的区别在于生物种群数量的变化率λy\lambda_yλy的定义。具体地说，马尔萨斯模型认为生物种群数量的变化率λy\lambda_yλy为常数λ\lambdaλ [2]。阻滞增长Logistic模型认为生物种群数量的变化率λy\lambda_yλy是一个随着生物种群数量yyy的增加而线性递减的量 [1]。进一步的工作主要包括分析Logistic模型的各个阶段，包括加速增长曲线，减速增长曲线 [3] 等。

参考资料

[1] 阻滞增长Logistic模型 https://wenku.baidu.com/view/9f843184a0116c175f0e4862.html
[2] 马尔萨斯模型 https://blog.csdn.net/Canhui_WANG/article/details/84861149
[3] 阻滞增长至加速/减速分析 http://cooc.cqmu.edu.cn:9001/Course/KnowledgePoint/5842.aspx