导语

我们都知道，BFS的性质可以运用在边权为1的最短路求解中。

单源边权值为1的最短路(实在不行只能自己打一个模板了)

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=110;
const int INF=0x3f3f3f3f;int h[N],e[N],ne[N],idx;
int n,m;
int dist[N];
bool st[N];
queue<int> q;void add(int a,int b){e[idx]=b;ne[idx]=h[a];h[a]=idx++;
}//求编号为1的点到编号为2的点的最短距离，数据假设满足条件 int bfs(){q.push({1});st[1]=true;while(q.size()){int t=q.front();q.pop();if(t==2) break;for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i]){int j=e[i];if(!st[j]&&dist[j]>dist[t]+1){dist[j]=dist[t]+1;st[j]=true;q.push(j);}}}if(dist[2]==INF) return -1;else return dist[2];
}int main(){cin>>n>>m;memset(dist,0x3f,sizeof dist);for(int i=0;i<m;i++){int x,y;cin>>x>>y; add(x,y); add(y,x);}cout<<bfs();return 0;
}

重点不是这个。

这篇文章是想写一下BFS的变形。

BFS+拆点

无线网络

精简题干后：

有n个已经修好的站点，和m个可以修建的站点，每两个站点之间的距离小于r就可以相互通信，求在新修站点小于k个的情况下，第一个站点到第二个站点的最小距离。边权为1。

和导语中的模板对比，这里变化了什么？

1.存在一部分站点是可以选择的，只是选择的个数不超过k

2.边没有直接给出来，需要我们判断哪些点直接存在边

3.从第一点可以看出，到达第二个站点存在1~k中情况。引入dist[N][N]，第二个参数代表这条路径需要新修的站点个数

拆点：

就是上文的第三点。

BFS可以放好多东西进去维护啊

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<cmath>
#define x first
#define y second
using namespace std;
const int N=220,M=N*N;typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;
queue<PII> q;
int n,m,k,r;
int dist[N][N];
int h[N],e[M],ne[M],idx;struct V{int x,y;
}v[N];bool check(int i,int j){LL dx=v[i].x-v[j].x;LL dy=v[i].y-v[j].y;return dx*dx+dy*dy<=r*r;
}void add(int a,int b){e[idx]=b;ne[idx]=h[a];h[a]=idx++;
}int bfs(){q.push({1,0});memset(dist,0x3f,sizeof dist);dist[1][0]=0;while(q.size()){PII t=q.front();q.pop();for(int i=h[t.x];i!=-1;i=ne[i]){int x=t.x,y=t.y;int j=e[i];if(j>n) y++;if(y<=k){if(dist[j][y]>dist[t.x][t.y]+1){dist[j][y]=dist[t.x][t.y]+1;q.push({j,y});}          }}}int res=1e8;for(int i=0;i<=k;i++){res=min(res,dist[2][i]);} return res-1;
}int main(){cin>>n>>m>>k>>r;memset(h,-1,sizeof h);for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i].x>>v[i].y;for(int i=n+1;i<=n+m;i++) cin>>v[i].x>>v[i].y;for(int i=1;i<=n+m;i++){for(int j=i+1;j<=n+m;j++){if(check(i,j)){add(i,j);add(j,i);}}}cout<<bfs();return 0;
}

多源BFS

最优配餐

简言之:求多个点到一个点的最短路径的最小值。

想法：可以看成一个超级原点经过多个点到达目标点的最短路径，其中超级原点到多个点的边权都是0，所以在BFS中直接放入多个点就可以了。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#define x first
#define y second
using namespace std;
const int N=1010;typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;
bool g[N][N];
int dist[N][N];
int n,m,k,d;
queue<PII> q;
int dx[]={-1,0,1,0},dy[]={0,1,0,-1};struct Tar{int x,y,c;
}tar[N*N];void bfs(){while(q.size()){PII t=q.front();q.pop();for(int i=0;i<4;i++){int x=t.x+dx[i],y=t.y+dy[i];if(x<1||x>n||y<1||y>n||g[x][y]) continue;if(dist[x][y]>dist[t.x][t.y]+1){dist[x][y]=dist[t.x][t.y]+1;q.push({x,y});}}}
}int main(){scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&k,&d);memset(dist,0x3f,sizeof dist);while(m--){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);dist[x][y]=0;q.push({x,y});}for(int i=0;i<k;i++)scanf("%d%d%d",&tar[i].x,&tar[i].y,&tar[i].c); while(d--){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);g[x][y]=true;}bfs();LL res=0;for(int i=0;i<k;i++){res+=dist[tar[i].x][tar[i].y]*tar[i].c;}printf("%lld",res);return 0;
}

一个简单数字排序引发的血案

数字排序

题干很简单，给定n个数，统计他们出现的次数，然后按照出现次数递减的顺序输出，如果出现次数相等，数字小的先输出。

做法也很简单，一个结构体一个自定义比较函数。

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;const int N=1010;
int n,x;
//可以离散化，但我不会 struct Data{int id;int num;
};
struct Data data[N];
bool cmp(struct Data a,struct Data b){if(a.num!=b.num) return a.num>b.num;else return a.id<b.id;
}int main(){cin>>n;for(int i=0;i<n;i++){cin>>x;data[x].id=x;data[x].num++;}sort(data,data+N,cmp);int i=0;while(data[i].num!=0){cout<<data[i].id<<" "<<data[i].num<<endl;i++;}return 0;
}

可是lf说这道题是因为数据范围小，这种类似桶排序的东西才可以过的。一直叫着去写map+优先队列。（其实离散化也可以，但我不会）

现在抽空看一下吧。

总体思路就是使用map<int,int> mp,进行数字统计，然后将map里面的元素放入优先队列，优先队列里的比较函数是可以自定义的。问题就出在重写<上。

priority_queue<> q默认大根堆，比较函数模板为less,为什么使用less却是大根堆呢？

//大根堆默认是less，我们越小越靠右，从左端取出最大元素
//重写<，相当于自定义优先级。

当我们在结构体中重写<时：

 bool operator< (const node& n) const{if(cnt==cnt) return num>n.num;else return cnt<n.cnt;}

不免会产生疑惑

需求：次数不同时，次数大的放前面；相同时，数字小的放前面。

这里的<就可以看成优先级的一种关系，它定义了哪一个元素的优先级小。很明显比较次数时，次数越小，优先级越小。数字时，数字越大优先级越小。

写到这里我们大概明白了，这里重写的不是什么普普通通的小于符号，而是优先级判定标准。

树的直径

概念：一棵树上最短路的最大值

两次dfs

找到任意一个点x距离它最远的点y，在从y点出发，找到离它最远的点，这两点之间的距离就是树的直径。

下面是y为直径一个端点的证明

大臣的旅费

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=1e5+10,M=2e5+10;int n;
int h[N],e[M],ne[M],w[M],idx;
int dist[N]; void add(int a,int b,int c){e[idx]=b;w[idx]=c;ne[idx]=h[a];h[a]=idx++;
}void dfs(int u,int father,int dis){dist[u]=dis;for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i]){int j=e[i];if(j!=father){dfs(j,u,dis+w[i]);}}
} int main(){cin>>n;memset(h,-1,sizeof h);for(int i=1;i<n;i++){int a,b,c;scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);add(a,b,c);add(b,a,c);}dfs(1,-1,0);int r=1;for(int i=1;i<=n;i++)if(dist[i]>dist[r]){r=i;} dfs(r,-1,0);for(int i=1;i<=n;i++)if(dist[i]>dist[r]){r=i;}int m=dist[r];printf("%lld",m*10+m*(m+1ll)/2);return 0;
}

在交这份代码的时候我陷入了MLE，我一度以为这种模拟的方式比不上struct+vector，结果发现是自己的边开小了（双边）。加了个M就过了。

不过struct+vector不用在意这些细节，也不错。

网络延时

这道题也是树的直径。

我们已知根节点就是编号为1的点，就只需要找到的到根节点的最大和次大层数相加就可以啦。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=2e4+10;int n,m,ans=0;
int p[N];
int h[N],e[N],ne[N],idx; int dfs(int u){int d1=0,d2=0;for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i]){int j=e[i];int d=dfs(j);if(d>=d1){d2=d1;d1=d;}else if(d>d2) d2=d;}ans=max(ans,d1+d2);return d1+1;
}void add(int a,int b){e[idx]=b;ne[idx]=h[a];h[a]=idx++;
}int main(){cin>>n>>m;memset(h,-1,sizeof h);for(int i=2;i<=n;i++){int x;cin>>x;add(x,i);}for(int i=n+1;i<=n+m;i++){int x;cin>>x;add(x,i);}dfs(1);cout<<ans;return 0;
}

写到这里，就不得不思考一下，为什么同样是数的直径，这道题可以这样写，推广一下呢？不能推广，也可以思考一下他的特殊性。

好像是不行的，特殊性：这里是一个树，故不存在环。就写这么多了，后续有空在补一下吧。图论真好玩

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