数学：理性的基础

数学是从实用中来的，它的“初心”是为了理性地进行测量、计算。

之所以数学这门学科能够诞生，不仅因为那些客观的规律原本就在那里，还因为我们人类感官、大脑的生理构造和经过几十上百万年演练而成的认知习惯能够去洞察这些规律！

在日常生活中，有些时候，我们以为自己在运用自己学过的数学知识，却因为没有透彻地理解原理而产生了误解；还有些时候我们运用朴素的直觉进行判断，却不知道其实事物的背后有着我们学过的数学原理。

学数学不仅仅是为了买菜和考试，学数学更深刻的意义在于训练我们的理性思维能力和习惯。

在纷繁复杂的现实中，努力运用数学理论去探索、求解，比完全跟着“感觉走”更能够掌控自我心智。

下面罗列的几点，就是笔者在遇到实际生活中的思考，未必保证正确，但至少是理性探索的尝试。大家如果有不同意见，欢迎讨论。

随机、概率和非随机

随机这个概念，大家都是不陌生的——

• 统计工作中，样本抽样需要是随机的；

• 编程实践中，经常用到随机数，有各种随机数生成器或生成方法；

• 随机性一词用来指示某事物缺乏可预测的规律；

• 随机过程则是指不定因子不断产生的重复过程；

• ……

虽然看起来是个很眼熟的词，可是在日常中，却充斥着对它的误解。

随机 =/= 任意！

这有一点很关键。

• “一个变量是随机的”表示这个变量遵循某种特定的概率分布，也就是说当这个变量反复不断地重复出现后，这些出现的状态叠加起来遵循某种概率分布。

• 而如果“一个变量是任意”，则无论它如何重复都没有可遵循的概率分布。

随机不是胡来！

两点分布=/=五五开

两点分布又名 0-1 分布，它是二项分布又名伯努利分布（没错，就是画像中的那位雅各布·伯努利大神）的一个特例。

简单说 0-1 就是：一件事情的结果只可能是两个：要么 0（失败），要么 1（成功）。

我们在相同条件下重复实验这件事情，那么每次尝试成功的概率为pp ( 0 < P < 1 )
，失败概率为 1 - P.
q=。

掷硬币就符合 0-1 分布的规律。因为一般的硬币都比较均匀，两面的重量基本一致，因此，对掷硬币这件事情而言，P = 0.5。

对掷硬币而言，在相同抛掷环境下，正反两面朝上的概率是五五开的——这样说是对的。

但是，所有符合 0-1 分布的事情P都是0.5吗？p都是0.5吗？ 显然不是的。

买彩票的结果是要么中奖要么白买，结果的可能性只有两个，但即使是最公平的抽奖，获奖概率也只有 1/n (1（其中nn是购买彩票的人数）。

除非买彩票的总共只有22个人，否则不可能获奖概率是0.50.5。

上帝掷骰子吗？

买彩票这件事还好，一般人即使买彩票也能对结果有个1/n 的大致估计。

然而很可惜的是，往往在另一些比买彩票更重要的事情上，有些人自觉不自觉地把事情成功与否默认成了掷硬币，并且自欺欺人地认为成功和失败的可能性是一半一半。

更有甚者，很多人会把非随机的事情强行当作是随机的，把随机当成是任意的，然后把事情成功与否当作是一种“运气”在所有人头上平均分配的结果。

就好像一切财富、荣誉、成就不过是上帝在掷骰子，碰巧落在某个人头上而已。

收获的基础

某个小朋友，在幼儿园临近毕业的时候问妈妈——

小朋友：怎么才能当医生呢？

妈妈：上医学院，中国最好的医学院是协和。

小朋友：好吧，如果协和就在咱们家旁边，我（将来）就上协和吧。

妈妈：宝贝儿，大学不是就近入学的。

在得知了大学录取通知没可能靠别人给买的学区房不劳而获之后，小朋友沉默了几年。

之后，又在随机过程里找到了安慰——

小朋友：我觉得上中学应该抽签，那样最公平。

妈妈：假设有这么一种情况：你每天上课听讲，放学做作业，考试前复习，有那么一个同学一天到晚只是玩从来不学，最后考试成绩不是看谁答题答得好，而是靠抽签。结果他抽了 90 分，你抽了 50 分，你觉那叫公平吗？

小朋友：不叫。

妈妈：把好的学习资源分配给自己愿意学好的小朋友，那才叫公平吧。如果学不学都没关系，能不能上好学校全靠抽签，对努力学习的小朋友公平吗？

小朋友：不公平。

妈妈：所以啊，你能不能更努力一点呢？

小朋友：不能！

虽然并不打算身体力行为了获得好成绩而努力，这位小朋友至少做到了在理论上承认付出时间精力与个人成就之间的强相关性。

努力 or 运气？

然而这么浅显的道理，却总是有人掩耳盗铃。

记得曾经看到过多篇介绍不同的知名人物（歌手、运动员等），如何努力练习技艺的文章。说的是不同的人，具体刻苦努力的内容也不尽相同。

但每篇下面的评论都无一例外有人一口咬定所有这些都是假的，这些名人根本就没有付出过那样的努力云云。

当时初看这些评论时真的觉得很奇怪：这些评论者对主人公的不满显而易见，但他们否认的却不是主人公客观的成就——并没有一口咬定说 XX 歌手不是天皇巨星，或者 XX 运动员不是世界冠军等；他们否认的是主人公在获得成就过程中付出的艰辛和奋斗。

为什么呢？如果讨厌这个人，直接说 TA 不入您的法眼，您根本看不上，不就完了，何必要说人家没有努力过？

后来逐渐明白了，他们其实并不是讨厌某一个人，是讨论所有成功的人。对他们而言，成功只是上帝扔了个骰子砸到了那些成功者而已。

机遇青睐有准备的人

当然，要承认：获得财富和荣誉的前提有很多，不乏大量的非人为因素在其中。个人就算修炼成了某个领域的顶尖高手，也未必就富甲一方声名显赫了。因此不能说努力就一定能成功。

反过来，诸如中彩票，忽然被发现是某大人物继承人之类奇缘机遇也确实存在，因此，甚至都不能说努力是有钱有名的必要条件。

但两者之间的相关程度之强却不可否认，在排除意外之后，努力就是成功的必要条件了。毕竟，努力一方面是历练客观能力的基础，另一方面也是主观意愿的体现。

所谓“机遇青睐有准备的人”，说得就是最终赢得机遇的人——具体是张三李四可能还存在这一定的偶然性，但无论张三李四，一定是属于一个每个成员在主观和客观上都符合机遇要求的群体的。

上帝就算掷骰子，也只会在努力准备的人群里掷。

而那些否认他人努力的键盘侠们却认为被上帝“砸着”的人其实和他们一样，也是每天上班/上学混，下班/下学躺，被“砸中”仅仅是因为运气好。

只要秉承着——“人世间的成功是一个随机过程，而其中的‘随机’就等于‘任意’”——这样的信念，在键盘发泄一顿之后，他们就又可以放心躺着去了，自己一辈子不成功都是上帝的错，或者社会的错，或者 XXX 的错，反正不是自己的错。

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