错排公式

一、定义：

错排问题，是组合数学中的问题之一。考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为D(n)。研究一个排列错排个数的问题，叫做错排问题或称为更列问题。

二、递推与通项公式：

当n个编号元素放在n个位置，元素编号与位置编号各不相同的方法数用D（n）表示，那么D（n-1）就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置，各不对应的方法数，其他类推。

第一步，把第n个元素放在一个位置，比如位置k，一共有n-1种方法；

第二步，放编号为k的元素，这时有2种情况：（k<n）

（1）把它放在位置n上，那么，对于剩下的n-1的元素，由于第k各元素放在位置n，剩下的n-2个元素就有D（n-2）种方法；

（2）第k个元素不把它放在位置n，这时，对于这n-1个数就有D（n-1）种方法。

综上得： D（n）=（n-1）[D（n-1）+D（n-2）]； D（1）=0； D（2）=1。

下面通过这个递推关系推导通项公式：

因为在n关于D的函数（D（n））中，一定存在一个阶乘，为方便起见，设D(k) = k! *N(k), k = 1, 2, …, n,

因为D（1）=0，则：0！=1，N（1）=0；

D（2）=1，则：2！=2*1，N（2）=1/2；

则N(1) = 0, N(2) = 1/2.

n ≥ 3时，

D（n-1）=（n-1）！*N（n-1），D（n-2）=（n-2）！*N（n-2）；

则：n! N(n) = (n-1)*[ (n-1)! N(n-1) + (n-2)! N(n-2) ] ;

即 nN(n) = (n-1) N(n-1) + N(n-2) ;

则：[ N(n) - N(n-1) ] / [ N(n - 1) - N(n - 2)] = -1/ n;

[ N(n-1) - N(n-2) ] / [ N(n - 2) - N(n - 3)] = - 1/（n-1）；

[ N[ 3 ] - N[ 2 ] ] / [ N[ 2 ] - N[ 1 ] = -1/3;

将上式累乘得：

于是有N(n) - N(n-1) = - [N(n-1) - N(n-2)] / n= (-1/n) [-1/(n-1)] [-1/(n-2)]…(-1/3) [N(2) - N(1)] = (-1)^n / n!.

因此

N(n-1) - N(n-2)= (-1)^(n-1) / (n-1)!,

…

N(2) - N(1) =(-1)^2 / 2!.

将上式累加，可得

N(n) = (-1)^2/2!+ … + (-1)^(n-1) / (n-1)! + (-1)^n/n!

因此

D(n) = n![(-1)^2/2! + … + (-1)^(n-1)/(n-1)! + (-1)^n/n!].

此即错排公式。

~step by step

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