机器视觉算法与应用：2.2 镜头

2.2 镜头

镜头的作用：聚集光线在摄像机内部产生锐利的图像，以得到被测物的细节。

2.2.1 针孔摄像机

hh′=csh：物体高度h′：像高度s：物体到投影中心的距离c：摄像机常数或主距,像到投影中心的距离\frac{h}{h'} = \frac{c}{s} \\h：物体高度 \quad h'：像高度 \quad s：物体到投影中心的距离 \quad c：摄像机常数或主距, 像到投影中心的距离 h′h=sch：物体高度h′：像高度s：物体到投影中心的距离c：摄像机常数或主距,像到投影中心的距离

针孔摄像机的针孔过小，只有极少量的光线通过小孔到达像平面，故必须采用非常长的曝光时间才能得到足够亮度的图像。
真正的摄像机使用镜头收集光线，而镜头通常由一定形状的玻璃或塑料构成。

2.2.2 高斯光学

n=cvv=f∗λn：折射率c：光速v：光在介质中的传播速率f：频率λ：波长n = \frac{c}{v} \quad v = f*λ \\ n：折射率 \quad c：光速 \quad v：光在介质中的传播速率 \quad f：频率 \quad λ：波长 n=vcv=f∗λn：折射率c：光速v：光在介质中的传播速率f：频率λ：波长

n1sinα1=n2sinα2n1→0时：n1α1=n2α2n1：介质1的折射系数α1：入射角n2：介质2的折射系数α2：出射角\\ n_1sin\alpha_1=n_2sin\alpha_2 \\ \ n_1 \to 0时： n_1\alpha_1=n_2\alpha_2 \\ n_1：介质1的折射系数 \quad \alpha_1：入射角 \quad n_2：介质2的折射系数 \quad \alpha_2：出射角 n1sinα1=n2sinα2 n1→0时：n1α1=n2α2n1：介质1的折射系数α1：入射角n2：介质2的折射系数α2：出射角

色散：白光折射时散成多种颜色。
针孔模型是线性过程，镜头成像是非线性过程，同心光束通过镜头后不能完全汇聚与一点。
根据近轴近似（入射角很小）可以得到高斯光学。在高斯光学中，同心光束通过由球面透镜构成的镜头后汇聚到一点。
高斯光学是理想化的光学系统，所有与高斯光学背离均称为像差。

h：被测物高度h′：像高度s：物距s′：像距F和F′：焦点，与光轴平行的光线必然经过焦点P和P′：主平面，经过平行光线与对应透射光线的交点，垂直于光轴f和f′：焦点到主平面的距离V和V′：折射球面与光轴的交点N和N′：若镜头两侧介质相同则为主平面与光轴的交点，否则不在主平面上。经过NN′的光线，其入射光线平行于透射光线。\\ h：被测物高度 \quad h'：像高度 \quad s：物距 \quad s'：像距 \\ F和F'：焦点，与光轴平行的光线必然经过焦点 \\ P和P'：主平面，经过平行光线与对应透射光线的交点，垂直于光轴 \\ f和f'：焦点到主平面的距离 \\ V和V'：折射球面与光轴的交点 \\ N和N'：若镜头两侧介质相同则为主平面与光轴的交点，否则不在主平面上。经过NN'的光线，其入射光线平行于透射光线。 h：被测物高度h′：像高度s：物距s′：像距F和F′：焦点，与光轴平行的光线必然经过焦点P和P′：主平面，经过平行光线与对应透射光线的交点，垂直于光轴f和f′：焦点到主平面的距离V和V′：折射球面与光轴的交点N和N′：若镜头两侧介质相同则为主平面与光轴的交点，否则不在主平面上。经过NN′的光线，其入射光线平行于透射光线。

β=y′y=a′aβ：放大系数\beta = \frac{y'}{y}=\frac{a'}{a} \\ \beta：放大系数 β=yy′=aa′β：放大系数

1s+1s′=1fs：∞→2f→f→0s′：f→2f→∞→0像：点→缩小倒立实像→等大倒立实像→放大倒立实像→不成像→放大正立虚像→等大正立虚像\\ \frac{1}{s}+\frac{1}{s'}=\frac{1}{f} \\ s：\infty \rightarrow 2f \rightarrow f \rightarrow 0 \\ s'：f \rightarrow 2f \rightarrow \infty \rightarrow 0 \\ 像：点 \rightarrow 缩小倒立实像 \rightarrow 等大倒立实像 \rightarrow 放大倒立实像 \rightarrow 不成像 \rightarrow 放大正立虚像 \rightarrow 等大正立虚像 s1+s′1=f1s：∞→2f→f→0s′：f→2f→∞→0像：点→缩小倒立实像→等大倒立实像→放大倒立实像→不成像→放大正立虚像→等大正立虚像

镜头的基本要素：FFF、F′F'F′、NNN和N′N'N′。
物面即经过被测物，与主平面PPP和P′P'P′的平面。像平面即经过被测物的像，与主平面PPP和P′P'P′的平面。
厚透镜成像法则：镜头前平行于光轴的光线过F′F'F′；过FFF点的光线通过镜头后平行于光轴；过NNN的光线必然经过N′N'N′，经过镜头前后与光轴夹角不变。

βp=dEXPdENP=tanωtanω′βp：光瞳放大率dEXP：出瞳直径dENP：入瞳直径ω：物方视场角ω′：像方视场角\beta_p=\frac{d_{EXP}}{d_{ENP}}=\frac{tan\ \omega}{tan\ \omega'} \\ \beta_p：光瞳放大率 \quad d_{EXP}：出瞳直径 \quad d_{ENP}：入瞳直径 \quad \omega：物方视场角 \quad \omega'：像方视场角 βp=dENPdEXP=tan ω′tan ωβp：光瞳放大率dEXP：出瞳直径dENP：入瞳直径ω：物方视场角ω′：像方视场角

光阑即镜头中用于限制通光量的部件。孔径光阑即最大程度限制通光量的光阑。孔径光阑不一定是最小的光阑。
入瞳与出瞳是虚拟光阑，入瞳是孔径光阑在其前光学系统中所成的虚像，决定镜头入口可以接收光线的面积。出瞳是孔径光阑在其后光学系统中所成的虚像，通过出瞳的光线可以通过整个光学系统。
主光线过孔径光阑中心，其入射光线与透射光线分别经过入瞳与出瞳的中心。
**光瞳放大率βp\beta_pβp**即出射光瞳的直径与入射光瞳直径之比，也与物方和像方的视场角相关。

c=y′ys=βs=f′(1−ββp)c：摄像机常数或主距f′：焦距β：放大系数βp：光瞳放大系数c = \frac{y'}{y}s=\beta s=f'(1-\frac{\beta}{\beta_p}) \\ c：摄像机常数或主距 \quad f'：焦距 \quad \beta：放大系数 \quad \beta_p：光瞳放大系数 c=yy′s=βs=f′(1−βpβ)c：摄像机常数或主距f′：焦距β：放大系数βp：光瞳放大系数

针孔模型只有一个投影中心，ω=ω′\omega = \omega'ω=ω′；高斯光学有两个投影中心，ω≠ω′\omega \neq \omega'ω=ω′。
ccc与f′f'f′可能不同，取决于物距sss和像距s′s's′。当摄像机聚集与另一平面时必须重新标定。

2.2.3 景深

F=f′dENPE∼tA∼tF2Δs≈2s2Fd′f′2Fe=F(1−ββp)Δs≈2Fed′β2Δs：景深s：物距F：f值d′：弥散圆直径f′：焦距F = \frac{f'}{d_{ENP}} \quad E \sim tA \sim \frac{t}{F^2} \\ \Delta s \approx \frac{2s^2Fd'}{f'^2} \quad F_e=F(1 - \frac{\beta}{\beta_p}) \quad \Delta s \approx \frac{2F_ed'}{\beta^2} \\ \Delta s：景深 \quad s：物距 \quad F：f值 \quad d'：弥散圆直径 \quad f'：焦距 F=dENPf′E∼tA∼F2tΔs≈f′22s2Fd′Fe=F(1−βpβ)Δs≈β22Fed′Δs：景深s：物距F：f值d′：弥散圆直径f′：焦距

IP是像平面，FP是对焦面。在FP前后的被测物在IP上成一弥散圆斑。若弥散圆斑的尺寸与像素尺寸（1.25~10μm）差不多，可近似看成聚焦。弥散圆斑取决于入瞳的直径。
标准f值为f/1、f/1.4、f/2、f/2.4、f/4、f/5.6、f/8、f/11、f/16、f/22等。f值增大一个级数，亮度缩小一半。
f′f'f′缩小一倍，Δs\Delta sΔs增加四倍。FFF增加一倍，Δs\Delta sΔs增加一倍。β\betaβ增加时，Δs\Delta sΔs变得更小。
不能任意加大Δs\Delta sΔs，因为过小的孔径光阑（F越大，通光量越小）会使光线发生衍射，像变成条纹圆环斑，影响图像清晰度。

2.2.4 远心镜头

物方远心镜头：β=−sinαsinα′双远心镜头：β=−f2′f1′Δs=d′βsinα=d′β2sinα′Δs：景深d′：弥散圆直径sinα：镜头数值孔径sinα′：像方数值孔径\\ 物方远心镜头： \beta = - \frac{sin \alpha}{sin \alpha'} \\ 双远心镜头： \beta = - \frac{f_2'}{f_1'} \\ \Delta s = \frac{d'}{\beta sin \alpha} = \frac{d'}{\beta^2 sin \alpha'} \\ \Delta s：景深 \quad d'：弥散圆直径 \quad sin \alpha：镜头数值孔径 \quad sin \alpha'：像方数值孔径物方远心镜头：β=−sinα′sinα双远心镜头：β=−f1′f2′Δs=βsinαd′=β2sinα′d′Δs：景深d′：弥散圆直径sinα：镜头数值孔径sinα′：像方数值孔径

对于近心镜头（普通光学镜头），投影在物方空间和像方空间都是透视的。若被测物与像平面不平行，其成像会变形（透视变形）。
对于物方远心镜头，孔径光阑在焦点F′F'F′处，入瞳中心在物方无穷远处，出瞳与孔径光阑重合（位置有限）。
对于双远心镜头，入瞳和出瞳都在无穷远处。
对于像方远心镜头，入瞳在焦点FFF处（位置有限），出瞳在无穷远处。光线越垂直，固态传感器越敏感。像方远心镜头可使光线垂直进入传感器，避免像素光晕现象。

镜头类型	物方投影	像方投影
近心镜头（普通光学镜头）	透视	透视
像方远心镜头	透视	平行
物方远心镜头	平行	透视
双远心镜头	平行	平行

若像平面垂直于光轴，则在几何学上像方空间的投影特性不再重要，平行投影变成正交投影，在像方空间中与透视投影等效。

2.2.5 倾斜镜头和沙姆定律

若被测物处在与像平面不平行的平面上，且处于高放大率下的浅景深时，成像会出现问题。可以减少孔径光阑的尺寸（增加镜头f值），但其作用有限，过小的孔径光阑会使光线发生衍射造成图像模糊，同时导致到达传感器的光线过少。
需要对倾斜物体平面清晰成像的应用包括立体重构、基于激光三角测量法（片光）的三维重构、结构光三维重构
沙姆定律：对于薄透镜（透镜两个主平面重合），焦平面、主平面和像平面汇聚成一条沙姆线；对于厚透镜，沙姆线分成两条直线，分别是FPFPFP与PPP的交线和IPIPIP与P′P'P′的交线
沙姆定律表明：通过相对于像平面来倾斜镜头，在物体空间中的任意一个平面都可以清晰成像。
绞合线即平行于像平面，经过物方主点NNN，与焦平面的交线。平移像平面，焦平面会沿物方绞合线旋转。

2.2.6 镜头的像差

像差	成因、表现和解决方法
球差	成因：球面镜头边缘折射增大使远离光轴的光线与进轴光线不交于同一点。表现：无论像平面在哪都有一个弥散圆。解决方法：使用较大f值，或者使用非球面镜头。
慧差	成因：与光轴成一定角度的光线通过镜头后不能聚于一点。表现：像不是圆形，而类似于彗星的形状。解决方法：使用较大f值。
像散	成因：子午方向和弧矢方向的光线不能聚焦于一点。表现：产生子午焦线和弧矢焦线两条正交的线，两者间某一位置出现最小的弥散圆斑。解决方法：使用大f值的孔径光阑，或者通过镜头设计减小像散。
场曲	成因：子午像与弧矢像不在同一像平面上，甚至二者所在的面不是平面。表现：不能使整个图像完全聚焦，中心聚焦清晰，边缘散焦严重。解决方法：使用大f值的孔径光阑，或者通过镜头设计减小场曲。
畸变	成因：不经过光轴的直线通过镜头后，其像不再是一条直线；但通过光轴的直线不会发生畸变表现：枕形畸变和桶形畸变，径向畸变和偏心畸变。。
色差	成因：被测物被白光等多波长光照明，不同波长的光线不会聚在同一点。表现：对于彩色摄像机，物体边缘产生彩条，对于黑白摄像机会出现模糊。解决方法：使用较大f值，或者使用消色差镜头或复消色差镜头。

渐晕即有些镜头采集的图像边缘亮度有很大下降。一个原因是因为光线与光轴角度过大使可变光阑不再是孔径光阑，可通过增加f值消除。另一个原因是轴外点光线强度下降，该情况无法通过增加f值来减小。