单个高阶微分方程处理方法

一个高阶微分方程的一般形式为：

输出变量的各阶导数的初始值：

选择一组状态向量：

这样，我们就将其从一个一般的方程变换为matlab可以求解的标准形式。

例题：
Van der Pol方程：

代码：

f=@(t,x,mu)[x(2);-mu*(x(1)^2-1)*x(2)-x(1)];
x0=[-0.2;-0.7];t_final=20;
mu=1;
[t1,y1]=ode45(f,[0,t_final],x0,[],mu);
mu=2;
[t2,y2]=ode45(f,[0,t_final],x0,[],mu);
plot(t1,y1,t2,y2,':')
figure;
plot(y1(:,1),y1(:,2),y2(:,1),y2(:,2),':')

这个封闭的曲线也称作极限环。

高阶常微分方程组的变换方法

先针对x选择m个状态变量，再针对y选择n个状态变量。

由此，我们可以的到新的状态方程：

例题2：
Apollo卫星轨迹：

其中有一些中间变量（常数mu，mu，r1和r2），因此不可使用匿名函数描述。*

M文件：

function dx=apolloeq(t,x)
mu=1/82.45;mu1=1-mu;
r1=sqrt((x(1)+mu)^2+x(3)^2);
r2=sqrt((x(1)-mu1)^2+x(3)^2);
dx=[x(2);2*x(4)+x(1)-mu1*(x(1)+mu)/r1^3-mu*(x(1)-mu1)/r2^3;x(4);-2*x(2)+x(3)-mu1*x(3)/r1^3-mu*x(3)/r2^3];

调用以下命令：

x0=[1.2;0;0;-1.04935751];tic,
[t,y]=ode45(@apolloeq,[0,20],x0);toc
length(t),plot(y(:,1),y(:,3))

返回的量：
t：时间向量
y：由4列构成的矩阵，其中第一列对应状态变量x1，第四列对应x4。

将y的第一列和第三列提取出来，他们对应的恰好是原来的x和y。所以我们得到的就是Apollo卫星的轨迹。

例题3：
另一个方程组：

微分方程组中，两个式子都同时含有x和y的最高阶导数，所以不能用刚才的方法，直接获得显示微分方程。
这时我们应该设置p1和p2，作为未知数，就可以把他们求解出来。

syms x1 x2 x3 x4
[p1,p2]=solve('p1+2*x4*x1=2*p2',...'p1*p4+3*x2*p2+x1*x4-x3=5','p1,p2')

运行结果：

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