曲线斜率与法向量综合辨析

参考：
http://wenku.baidu.com/link?url=AxjATkZdZg4NOER0_7dWz18OdacwtEWFcr5kZgmrBexxmJzS9M5D_fqlBsFIpBNlq1ZuZu6Qd6mg8fgXaayFA7O2IR4PXNseeYy9V_62bWW

用函数表达式与方程表达的变量之间关系是有一点点区别的。
从一元看起。
y=f(x)y = f(x),那么一点处的斜率k=f′(x)k = f'(x)
这个斜率是切线的斜率。

形成一种很重要的直觉是：偏导数构成的是法向量，参数导数构成的是切向量

1.平面曲线的切线与法线

曲线: F(x,y)=0F(x,y) = 0
法向量:n→=(F′x(x0,y0),F′y(x0,y0))\overrightarrow n = (F'_x(x_0,y_0),F'_y(x_0,y_0))
则切线方程：F′x(x0,y0)(x−x0)+F′y(x0,y0)(y−y0)=0F'_x(x_0,y_0)(x - x_0) + F'_y(x_0,y_0)(y - y_0) = 0
法线方程：F′y(x0,y0)(x−x0)−F′x(x0,y0)(y−y0)=0F'_y(x_0,y_0)(x-x_0) - F'_x(x_0,y_0)(y - y_0) = 0

如果平面曲线的写法是：x=x(t),y=y(t)x = x(t), y = y(t)
那么易求得的是切向量：τ→=(x′(t),y′(t)) \overrightarrow \tau = (x'(t), y'(t))

这个关系要明确：
n→⋅τ→=0→\overrightarrow n \cdot \overrightarrow \tau = \overrightarrow0

2.空间曲线的切线与法线

空间曲线之参数表达#####：

x=x(t),y=y(t),z=z(t)x = x(t), y = y(t), z = z(t)
则空间曲线一点处的切向量是：(x′(t),y′(t),z′(t))(x'(t),y'(t),z'(t))
那么一点P0(x0,y0,z0)P_0(x_0,y_0,z_0)处的切线是：

x−x0x′(t0)+y−y0y′(t0)+z−z0z′(t0)=0{x-x_0 \over x'(t_0)} + { y-y_0 \over y'(t_0) } + {z-z_0\over z'(t_0)} = 0

再由法平面定义可知切向量用作法平面的法向量，因为互相垂直的关系。

这个切向量也用作过这一点且与切线垂直的平面的法向量。
因此法平面的方程是：

x′(t0)(x−x0)+y′(t0)(y−y0)+z′(t0)(z−z0)=0x'(t_0)(x - x_0) + y'(t_0)(y-y_0) + z'(t_0)(z-z_0) = 0

空间曲线之平面表达

F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0F(x,y,z) = 0, G(x,y,z) = 0
既然仍然是曲线，那么求得的还是以切向量为切入点。这里用到的方法是Jacob矩阵+行列式法。因为题中给的往往是不可化为参数形式的两个曲面。
Jacob矩阵：
[F′xG′xF′yG′yF′zG′z] \left[ \begin{array}{ccc}F'_x& F'_y & F'_z \\G'_x & G'_y &G'_z \end{array} \right]
由这个矩阵出发写出二阶行列式。
Jxy=∣∣∣∣F′xG′xF′yG′y∣∣∣∣J_{xy} = \left| \begin{array}{ccc}F'_x& F'_y\\G'_x & G'_y\end{array} \right|

Jxz=∣∣∣∣F′xG′xF′zG′z∣∣∣∣J_{xz} = \left| \begin{array}{ccc}F'_x& F'_z\\G'_x & G'_z\end{array} \right|

Jyz=∣∣∣∣F′yG′yF′zG′z∣∣∣∣J_{yz} = \left| \begin{array}{ccc}F'_y& F'_z\\G'_y & G'_z\end{array} \right|

这个行列式计算出来以后，就可以写出切向量了。
τ→=(Jyz,Jxz,Jxy)\overrightarrow \tau = (J_{yz},J_{xz},J_{xy})
那么问题就统一可解了。

3.曲面的切线与法线

待补充。