前言

1.系统

2.观测器设计

3.控制器设计

4.MATLAB/Simulink仿真

4.1s函数编写被控对象

4.2Simulink模型

5结果分析

5.1出图结果

5.2结论

5.3调参

前言

将滑膜控制与状态观测器结合，可实现对速度信号的有效观测，从而实现无需速度测量的滑模控制。

图1 带状态观测器的闭环控制系统

1.系统

以二阶系统为例：

θ'' = -a*θ'-b*θ+k*u

其中，θ未位置信号，θ‘即速度信号。

定义状态变量x = [x1 x2]' = [θ θ']'，所以上述系统的状态方程形式为：

x1' = x2

x2' = -a*x2-b*x1+k*u

输出方程：

y = x1

2.观测器设计

(x1^)' = (θ^)' = x2^+(y-x1^)*(α1/ε)

(x2^)' = (θ^)'' = -a*x2^-b*x1^+k*u+(y-x1^)*(α2/ε^2) (此加粗处书上漏了^)

其中，α1和α2为正实数，ε < 1。

①取h1 = α1/ε，h2 = (α2/ε^2)，则观测器转化为：

x1^' = x2^+(y-x1^)*h1

x2' = -a*x2-b*x1+k*u+(y-x1^)*h2

②定义观测误差(x~) = x-x^，将系统状态空间方程代入到上述设计的观测器，可得：

(x1~) = -h1*(x1~)+(x2~)

(x2~) = -h2*(x1~)-a*(x2~)

y = x1

转化为状态空间形式，即

(x~)' = A*(x~)

其中，A = [-h1 1;-h2 -a]，(x~) = [(x1~);(x2~)]。

③需要保证A为Hurwitz矩阵，即保证其特征根在复平面左侧；

求其特征方程|sI-A| = |s+h1 -1;h2 s+a| = 0，展开即s^2+(h1+a)*s+h2 = 0；

即转化为保证s^2+2*p*s+p^2为Hurwitz多项式，对应即h1+a = 2*p，h2 = p^2；

由s^2+2*p*s+p^2 = 0保证其特征根在复平面左侧得到p > 0，对应即h1+a > 0(这里我没看懂书上的理解，这是我自己的理解，Hurwitz多项式对应的就是保证特征根为负。而且经后面仿真也证实我的推断没错；而且h取值越大，超调量越大，但追踪所需时间越短)，所以最终的h1和h2的取值关系为：

h1 > a

h2 = a^2

3.控制器设计

还是老“三部曲”(此处推导变量的标号可能很多，希望耐心推导)：

(1)①定义滑膜面/滑膜函数：

s = c*e(个人认为滑模面项数 = 状态变量个数，欢迎指正)

其中c= [c1，1]，e = [e1；e2] = [e；e'] = [θd - θ；θd' - θ']，并定义：

e = θd - θ，即e1 = θd - θ，e2 = e' = θd' - θ';

(e^) = θd - (θ^)，即(e1^) = θd - (θ^)，(e2^) = θd' - (θ^)';

(θ~) = θ - (θ^)，(e~) = e - (e^)，(s~) = s - (s^)，再加前面定义的(x~) = x - (x^)。

②导数观测量为：

e' = θd - θ'，即e1' = θd' - θ'，e2' = e'' = θd'' - θ'';

(e^)' = θd' - (θ^)'，即(e1^)' = θd' - (θ^)'，(e2^)' = θd'' - (θ^)'';

(注意是(e^)'估计的导数值，而不是(e')^导数的估计值，这里书上感觉模棱两可，个人观点，欢迎批评指正)，具体可以参阅以下文献：

《基于高增益观测器的挖掘机工作装置滑模控制》

(θ~)' = θ' - (θ^)'，(e~)' = e' - (e^)'，(s~)' = s' - (s^)'。

③由于含观测器，所以滑模面应与观测误差e^有关，所以需引入中间滑模面：

(s^) = c*e^

其中c= [c1，1]，e^ = [e1；e2] = [e^；(e^)'] = [θd - (θ^)；θd' - (θ^)']。

(2)④先求滑模控制律的等效控制项ueq，中间滑模面导数为(s^)' = c1*(e1^)'+(e2^)' = c1*(e2^)+（θd'' - (θ^)''）= c1*(e2^)+（-a*x2^-b*x1^+k*ueq） (将前面的(θ^)''代入，代入时将(y-x1^)*h2丢掉)，

得到ueq = （a*x2^+b*x1^+c1*(e2^)）/ k = （a*(θ^)'+b*θ^+c1*(e2^)）/ k (加粗的^书上应该漏了)

⑤再求滑模控制律的鲁棒项usw ，usw 为满足滑模到达条件 s^(s^)' ≤ 0 的切换项，采用等速趋近律(s^)' = -η*sign(s^)，所以鲁棒项为：

usw = η*sign(s^) / k

为了为消除抖振,将切换项符号函数替换为 s^，所以usw = η*s^/k

所以基于高增益观测器的滑膜控制律为：

u = ueq+usw =（a*(θ^)'+b*θ^+c1*(e2^)+η*(s^)）/ k，其中η > 0

(3)使用Lyapunov函数证明闭环系统稳定，V = 1/2*s^2，V' = 1/2*s*s'。(快考试了没时间，后面有时间补上)

4.MATLAB/Simulink仿真

取位置指令/理想信号θd = sin(t)，扰动d = sin(t)（书中没有扰动，这是我自己加上的）

4.1s函数编写被控对象

function [sys,x0,str,ts,simStateCompliance] = Plant(t,x,u,flag)switch flag,case 0,[sys,x0,str,ts,simStateCompliance]=mdlInitializeSizes;case 1,sys=mdlDerivatives(t,x,u);case 2,sys=mdlUpdate(t,x,u);case 3,sys=mdlOutputs(t,x,u);case 4,sys=mdlGetTimeOfNextVarHit(t,x,u);case 9,sys=mdlTerminate(t,x,u);otherwiseDAStudio.error('Simulink:blocks:unhandledFlag', num2str(flag));end
function [sys,x0,str,ts,simStateCompliance]=mdlInitializeSizessizes = simsizes;
sizes.NumContStates  = 2;
sizes.NumDiscStates  = 0;
sizes.NumOutputs     = 2;
sizes.NumInputs      = 2;
sizes.DirFeedthrough = 1;
sizes.NumSampleTimes = 1;   % at least one sample time is needed
sys = simsizes(sizes);
x0  = [0.2 0]';
str = [];
ts  = [0 0];simStateCompliance = 'UnknownSimState';function sys=mdlDerivatives(t,x,u)
theta = x(1);
dtheta = x(2);
d = u(1);%扰动
U = u(2);
a = 10;b = 1;k = 1;%系统参数
ddtheta = -a*dtheta-b*theta+k*U+d;
sys = [dtheta;ddtheta];function sys=mdlUpdate(t,x,u)sys = [];function sys=mdlOutputs(t,x,u)sys = x;function sys=mdlGetTimeOfNextVarHit(t,x,u)sampleTime = 1;    %  Example, set the next hit to be one second later.
sys = t + sampleTime;function sys=mdlTerminate(t,x,u)sys = [];

4.2Simulink模型

图2 基于高增益观测器的鲁棒滑膜控制Simulink模型

5结果分析

5.1出图结果

图3 角度θ与理想位置信号θd对比

图4 角速度θ与理想速度信号θd'对比

图5 θ和(θ^)输出角度和观测角度对比

图6 θ'和(θ^)'输出角速度和观测角速度对比

图7 观测误差e^

图8 观测误差变化率(e^ )'

图9 角度追踪误差e

图10 角度追踪误差e

图11 控制输出u

5.2结论

①对于观测器的设计，可以从图5、6看出在0.5s内便能观测吻合，也可以从图7、8看出误差基本稳定在1％，证明该高增益观测器设计的合理性；

②对于控制器的设计，可以从图3、4看出在1s内便能快速追踪理想位置信号，也可以从从图9、10看出追踪误差有微笑的波动，证明了该基于观测器的滑膜控制器鲁棒性。

5.3调参

①书上在推理中有许多小标错误，虽然在本例中最后对仿真影响不大，但是需要注意。

②书上推理中写的控制器参数c = 5和η = 1.5并不能使系统实现好的追踪效果，需要调整为c = 10和η = 50(但是它的程序中又写的是c = 10和η = 50)，η越大，最终误差越快趋于0，而且随η的增大波动也减小，但控制器所需输出越大。

③设计观测器时，满足使矩阵A为Hurwitz多项式，我的理解和书上有些偏差，其中观测器的调节参数h越大，则观测时的误差趋于0所需时间越小，而且随h的增大波动也减小，但是超调量增大。

所以，调参时需要对控制器及观测器的性能进行折中。

如果有帮助，麻烦帮忙点个赞是我最大的分享动力，非常感谢！

注：仅为便利自己学习，错误在所难免，如有侵权，请联系删除，有兴趣的学者可以参考学习交流，谢谢！

参考资料：

《基于高增益观测器的挖掘机工作装置滑模控制---徐国胜等》

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