自学考试之概率论与数理统计知识框架

看了下软考成绩，上午49，下午51，没有什么意外的话，通过了！其实完全可以考的更好，但当时太紧张了，也没有调整好心态，还是缺乏相应的锻炼！还有一点，基础的东西，还是要再强化一下。

学历的意义在于基础，基本上就等同于大方向或大行业的常识！从专科到本科，也为了弥补青春过往的时间，以及之前上大学时的不自信。还是那句话：“坐等不会有良机”。

概率论与数理统计是研究随机现象的一门科学，是一门研究统计规律的学科。意义是:可以提高认识问题、研究问题与处理相关实际问题的能力

随机实验，首先关心的是所有可能的结果，称为样本空间记为Ω=| ω |，其中 ω ，在里面基本结果，又称为样本点．
样本空间的子集就可以表示随机事件。

既然随机事件是用集合表示，那么集合的运算就适用于概率的分析。

维恩图: 看图中画斜线的部分。解释时要以样本空间来解释，如交A={甲来听课}，B={乙来听课}，那么A∩B代表A，B都来听课。

事件间的关系：

包含：若A中的每一个样本点都包含在B中，则记为A⊂B，事件A的发生必然导致事件B发生。

相等关系： A⊃B 与 B⊃A同时成立，记为A=B，等价的两个事件同时发生，因此可看作是一样的。

互不相容：若AB=∅，则表示A与B不可能同时发生

从这几天的学习成果来看，这样看书的方式太慢了，也不利于发现问题，也找不准重点。接下来，看视频来学习。利用视频建立一个知识框架。

事件的运算来看，与程序里的位运算，或与非，有相似之处。

频率：是0到1间的一个实数，在大量重复事件基础上给出的随机事件发生可能性的估计。随着次数的增加会稳定在一个值。

概率：频率的稳定值称作概率，这是统计型定义。现实中，不能通过大量的实验得出这个稳定值。

概率的公理化定义：更简洁的定义

随机事件对应的样本空间为S，对于每一个事件A，若函数 P(A) 满足下列条件，则 P(A) 为 A 的概率：
1. 非负性，即 P(A) 非负；//任何一个事件的出现的概率都是非负的
2. 规范性，即必然事件 S 的 P(S)=1；
3. 可列可加性，即互不相容事件的并集的概率为各事件概率之和。即：A1,A2....两两互斥即AiAj=∅, i!=j

满足这三条公理的P(A)称为事件A的概率。

性质4

若 A⊃B则有P(A-B)=P(A)-P(B).还可以得出P(A)>=P(B).

若没有包含关系P(A-B)=P(A)-P(AB).

概率的加法公式5：

P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(AB).

推广（一般情况）

P(A u B u C)=P(A)+P(B）+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC).

概率如何来得到的呢？这就需要基本的概率模型。

古典概型：等可能概型

满足两个基本的特征：

1、试验中的样本只有有限个。

2、每个样本点出现的概率是相等的。

条件概率：

如何区分条件概率与古典概率的情况呢？

如果告诉你A已经发生了，求B的概率那就是条件概率。

如果A与B同时发生，那么求的就是古典概率。

条件概率定义：

P(B|A)=P(AB)/P(A),P(A)>0//条件概率只不过是把原来样本空间S,缩小到了A范围里面来考虑概率。所以也满足所有的概率性质。

乘法公式：只要条件概率都有意义时

P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)；//即事件A和事件B同时发生的概率等于在发生A的条件下B发生的概率乘以A的概率。

推广：

P(ABC)=P(A)P(B｜A)P(C｜AB).

一般地，设A1，A2，…，An为n≥2个事件，且P(A1A2…An-1)＞0，则有

P(A1A2…An)=P(A1)P(A2｜A1)P(A3｜A1 A2) …P(An｜A1A2…An-1)

通过维恩图可以帮助我们更容易的理解这些概率公式。

全概率公式与贝叶斯公式

全概率：

1. 如果事件组B1，B2，.... 满足

1.B1，B2....两两互斥，即 Bi ∩ Bj = ∅ ，i≠j ， i,j=1，2，....，且P(Bi)>0,i=1,2,....;

2.B1∪B2∪....=Ω ，则称事件组 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分

设 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：

上式即为全概率公式（formula of total probability)

全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(Bi),P(A|Bi) (i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...Bn,这样事件A就被事件AB1,AB2,...ABn分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+ABn, 每一Bi发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|Bi)，由加法公式得

P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(ABn)

=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(PBn)

贝叶斯公式：

1.与全概率公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因（即大事件A已经发生的条件下，分割中的小事件Bi的概率），设B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，则对任一事件A（P(A)>0),有

上式即为贝叶斯公式（Bayes formula)，Bi 常被视为导致试验结果A发生的”原因“，P(Bi)(i=1,2,...)表示各种原因发生的可能性大小，故称先验概率；P(Bi|A)(i=1,2...)则反映当试验产生了结果A之后，再对各种原因概率的新认识，故称后验概率。

事件的独立性：

　　两个事件之间的独立性是指：一个事件的发生不影响另一个事件的发生。

　　从数学语言上（即定义）：　　（1.4.1）
　　从条件概率的角度看：。如何理解这个概念呢？从概率的角度看，事件A的条件概率与无条件概率的差别在于：事件B的发生改变了事件A发生的概率，也即事件B对事件A有某种“影响”，如果事件B的发生对事件A的发生毫无影响，即有，由此又可推出，即事件A发生对B也无影响，可见独立性是相互的。

推广：

　　定义1.4.2：设A，B，C是三个事件，如果有

则称A，B，C两两独立，若还有

则称A，B，C相互独立。

小概率事件：

小概率事件在大量重复实验的，至少有一次发生的可能性是必然的。

随机变量：

名为变量实质是一个函数，是从样本空间到实数上的一个映射。

概率论的知识框架:

整个概率论的知识体系，要各个攻破，多问下自己参加自考的目的是什么，难道真是为了一纸文凭吗？为什么不一个知识点一个知识点的一个个攻破呢？如同第一次软考一样，给自己压力很大，最后发现这么多知识，可不是几个月时间就可以掌握的。所以，反对给自己太大压力，哪怕一天一个知识点，能感受到自己的进步就可以了……，这正是以考促学的意义所在。

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