超详细易懂FFT（快速傅里叶变换）及代码实现
前言
昨天学了一晚上，终于搞懂了FFT。希望能写一篇清楚易懂的题解分享给大家，也进一步加深自己的理解。
FFT算是数论中比较重要的东西，听起来就很高深的亚子。但其实学会了（哪怕并不能完全理解)，会实现代码，并知道怎么灵活运用 （背板子） 就行。接下来进入正题。
定义
FFT（Fast Fourier Transformation），中文名快速傅里叶变换，是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。
而在信奥中，一般用来加速多项式乘法。
朴素高精度乘法的时间为O(n2)O(n^2)O(n2)，但FFT能将时间复杂度降到 O(nlog2n)O(nlog_2n)O(nlog2n)
学习FFT之前，需要了解一些有关复数和多项式的知识。
有关知识
多项式的两种表示方法
系数表示法
F[x]=y=a0x0+a1x1+a2x2+......anxnF[x]=y=a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+......a_nx^nF[x]=y=a0x0+a1x1+a2x2+......anxn
{a0,a1,a2,...,ana_0,a_1,a_2,...,a_na0,a1,a2,...,an} 是这个多项式每一项的系数，所以这是多项式的系数表示法
点值表示法
在函数图像中，F[x]F[x]F[x]这个多项式可以被n个点唯一确定，即代入n个点作为xxx,分别解出对应的 yyy，得到n个式子。把这n条式子联立起来成为一个有n条方程的n元方程组，每一项的系数都可以解出来.（可类比二元一次方程）
也就是说，使用{(x0,f[x0])(x_0,f[x_0])(x0,f[x0]),(x1,f[x1])(x_1,f[x_1])(x1,f[x1]),…,(xn,f[xn])(x_n,f[x_n])(xn,f[xn])}就可以完整描述出这个多项式,这就是 多项式的点值表示法
多项式相乘
设两个多项式分别为f(x)f(x)f(x),g(x)g(x)g(x),我们要把这两个多项式相乘 (即求卷积)。
如果用系数表示法:
我们要枚举fff的每一位的系数与ggg的每一位的系数相乘，多项式乘法时间复杂度O(n2)O(n^2)O(n2)，这也是我们所熟知的高精度乘法的原理。
如果用点值表示法:
f[x]f[x]f[x]={(x0,f[x0])(x_0,f[x_0])(x0,f[x0]),(x1,f[x1])(x_1,f[x_1])(x1,f[x1]),…,(xn,f[xn])(x_n,f[x_n])(xn,f[xn])}
g[x]g[x]g[x]={(x0,g[x0])(x_0,g[x_0])(x0,g[x0]),(x1,g[x1])(x_1,g[x_1])(x1,g[x1]),…,(xn,g[xn])(x_n,g[x_n])(xn,g[xn])}
f[x]∗g[x]f[x]*g[x]f[x]∗g[x]={(x0,f[x0]∗g[x0])(x_0,f[x_0]*g[x_0])(x0,f[x0]∗g[x0]),(x1,f[x1]∗g[x1])(x_1,f[x_1]*g[x_1])(x1,f[x1]∗g[x1]),…,(xn,f[xn]∗g[xn])(x_n,f[x_n]*g[x_n])(xn,f[xn]∗g[xn])}
我们可以发现，如果两个多项式取相同的xxx，得到不同的yyy值，那么只需要yyy值对应相乘就可以了！
复杂度只有枚举xxx的O(n)O(n)O(n)
那么问题转换为将多项式系数表示法转化成点值表示法。
朴素系数转点值的算法叫DFT（离散傅里叶变换）,优化后为FFT（快速傅里叶变换），点值转系数的算法叫IDFT（离散傅里叶逆变换），优化后为IFFT(快速傅里叶逆变换)。之后我会分别介绍。
卷积
其实不理解卷积也没关系，但这里顺便提一下，可以跳过的
卷积与傅里叶变换有着密切的关系。利用一点性质，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，能使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。
F(g(x)∗f(x))=F(g(x))F(f(x))F(g(x)*f(x)) = F(g(x))F(f(x))F(g(x)∗f(x))=F(g(x))F(f(x))
其中F表示的是傅里叶变换
复数
高中数学会详细讲解，知道的可以跳过这一部分，没学过也没关系，看以下内容应该能很清楚的理解。
1.定义
数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行。比如判别式小于0的一元二次方程仍无解，因此将数集再次扩充，达到复数范围。
复数zzz被定义为二元有序实数对(a,b)(a,b)(a,b),记为z=a+biz=a+biz=a+bi,这里aaa和bbb是实数，规定iii是虚数单位。 (i2=−1i^2=-1i2=−1 即i=−1i=\sqrt{-1}i=−1)
对于复数z=a+biz=a+biz=a+bi。实数aaa称为复数z的实部(real part),记作rez=arez=arez=a.实数bbb称为复数z的虚部(imaginary part)记作 Imz=b.
当虚部等于零时，这个复数可以视为实数。
即当b=0b=0b=0时，z=az=az=a,这时复数成为实数；当且仅当a=b=0a=b=0a=b=0时，它是实数0；
当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。
即当a=0a=0a=0且b≠0b≠0b=0时，z=biz=biz=bi，我们就将其称为纯虚数。
将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模，记作∣z∣∣z∣∣z∣。
即对于复数z=a+bi，它的模为∣z∣=(a2+b2)∣z∣=\sqrt{(a^2+b^2)}∣z∣=(a2+b2)
2.复数的几何意义
直接两张图搞定√ (应该可以一目了然)
3.运算法则
加法法则:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
减法法则:(a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i;(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;(a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i;
注：复数加减满足平行四边形法则：
乘法法则:(a+bi)⋅(c+di)=(ac−bd)+(bc+ad)i(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i(a+bi)⋅(c+di)=(ac−bd)+(bc+ad)i
复数相乘一个重要法则：模长相乘，幅角相加。（这个定理很重要）
模长：这个向量的模长，即这个点到原点的距离。（不懂的可再看下向量的几何意义）。
幅角: 从原点出发、指向x轴正半轴的射线绕原点逆时针旋转至过这个点所经过的角。
在极坐标（可看成平面直角坐标系）下，复数可用模长r与幅角θ表示为(r,θ)(r,θ)(r,θ)。对于复数a+bia+bia+bi,r=(a²+b²)r=\sqrt{(a²+b²)}r=(a²+b²)，θ=arctan(b/a)θ=arctan(b/a)θ=arctan(b/a)。此时，复数相乘表现为模长相乘，幅角相加。
除法法则：(a+bi)÷(c+di)=[(ac+bd)/(c²+d²)]+[(bc−ad)/(c²+d²)]i(a+bi)÷(c+di)=[(ac+bd)/(c²+d²)]+[(bc-ad)/(c²+d²)]i(a+bi)÷(c+di)=[(ac+bd)/(c²+d²)]+[(bc−ad)/(c²+d²)]i
4. 共轭复数
一个复数z=a+biz=a+biz=a+bi的共轭复数为a−bia−bia−bi（实部不变，虚部取反），记为 z‾=a−bi\overline{z}=a-biz=a−bi
当复数模为1时（即|z|=1），与共轭复数互为倒数
证明：z∗z‾=a2−b2∗i2=a2+b2=∣z∣2=1z*\overline{z}=a^2-b^2*i^2=a^2+b^2=|z|^2=1z∗z=a2−b2∗i2=a2+b2=∣z∣2=1
FFT加速多项式乘法
由于多项式乘法用点值表示比用系数表示快的多，所以我们先要将系数表示法转化成点值表示法相乘，再将结果的点值表示法转化为系数表示法的过程。
第一个过程叫做FFT（快速傅里叶变换)，第二个过程叫IFFT（快速傅里叶逆变换）
在讲这两个过程之前，首先了解一个概念：
单位根
复数ω\omegaω满足ωn=1\omega^n=1ωn=1，称ω\omegaω是n次单位根
怎么找单位根？
单位圆:圆心为原点、1为半径的圆
把单位圆n等分，取这n个点（或点表示的向量）所表示的复数（即分别以这n个点的横坐标为实部、纵坐标为虚部，所构成的虚数），即为n次单位根。
下图包含了当n=8时，所有的8次单位根，分别记为ω81,ω82.....,ω88\omega_8^1,\omega_8^2.....,\omega_8^8ω81,ω82.....,ω88
(图中圆的半径是1，w表示ω\omegaω,且下标8已省略）
图是我自己画的，可能有点丑QWQ
由此我们知道如何找单位根啦
从点(1,0)开始（即ωn1\omega_n^1ωn1）,逆时针将这n个点从0开始编号，第k个点对应的虚数记作ωnk\omega_n^kωnk
由复数相乘法则：模长相乘幅角相加 可得：
(ωn1)k=ωnk(\omega_n^1)^k=\omega_n^k(ωn1)k=ωnk
根据每个复数的幅角，可以计算出所对应的点/向量。ωnk\omega_n^kωnk 对应的点/向量是(coskn2π,sinkn2π)(cos\frac kn2π,sin\frac kn2π)(cosnk2π,sinnk2π)，即为复数 coskn2π+i∗sinkn2πcos\frac kn2π+i *sin\frac kn2πcosnk2π+i∗sinnk2π
单位根的性质
建议记住，因为对之后的分析很重要！！
1.ωnk=ω2n2k\omega_n^k=\omega_{2n}^{2k}ωnk=ω2n2k
2.ωnk=−ωnk+n2\omega_n^k=-\omega_{n}^{k+\frac n 2}ωnk=−ωnk+2n
3.ωn0=ωnn=1\omega_n^0=\omega_{n}^n=1ωn0=ωnn=1
至于怎么证明，就是复数相乘时模长相乘幅角相加的原则。或者你直接观察图也可以很显然的得出结论。
DFT（离散傅里叶变换）
对于任意多项式系数表示转点值表示，例如F[x]=y=a0x0+a1x1+a2x2+......+anxnF[x]=y=a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+......+a_nx^nF[x]=y=a0x0+a1x1+a2x2+......+anxn ，可以随便取任意n个xxx值代入计算,但这样时间复杂度是O(n2)O(n^2)O(n2)
所以伟大数学家傅里叶取了一些特殊的点代入，从而进行优化。
他规定了点值表示中的nnn个xxx为nnn个模长为1的复数。这nnn个复数不是随机的，而是单位根。
把上述的n个复数（单位根）ωn0,ωn1.....,ωnn−1\omega_n^0,\omega_n^1.....,\omega_n^{n-1}ωn0,ωn1.....,ωnn−1代入多项式，能得到一种特殊的点值表示，这种点值表示就叫DFT（离散傅里叶变换）。
FFT（快速傅里叶变换）
虽然DFT能把多项式转换成点值但它仍然是暴力代入nnn个数，复杂度仍然是O(n2)，所以它只是快速傅里叶变换的朴素版。
所以我们要考虑利用单位根的性质，加速我们的运算，得到FFT（快速傅里叶变换）
对于多项式 A(x)=a0+a1x+a2x2+...+an−1xn−1A(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{n−1}x^{n−1}A(x)=a0+a1x+a2x2+...+an−1xn−1
将A(x)的每一项按照下标的奇偶分成两部分：
A(x)=a0+a2x2+...+an−2xn−2+x∗(a1+a3x2+...+an−1xn−2)A(x)=a_0+a_2x^2+...+a_{n−2}x^{n−2}+x*(a_1+a_3x^2+...+a_{n−1}x^{n−2})A(x)=a0+a2x2+...+an−2xn−2+x∗(a1+a3x2+...+an−1xn−2)
设两个多项式 A0(x)A_0(x)A0(x)和A1(x)A_1(x)A1(x)，令：
A0(x)=a0x0+a2x1+...+an−2xn/2−1A_0(x)=a_0x^0+a_2x^1+...+a_{n-2}x^{n/2-1}A0(x)=a0x0+a2x1+...+an−2xn/2−1
A1(x)=a1x0+a3x1+...+an−1xn/2−1A_1(x)=a_1x^0+a_3x^1+...+a_{n-1}x^{n/2-1}A1(x)=a1x0+a3x1+...+an−1xn/2−1
显然，A(x)=A0(x2)+x∗A1(x2)A(x)=A_0(x^2)+x*A_1(x^2)A(x)=A0(x2)+x∗A1(x2)
假设k<nk<nk<n，代入x=ωnkx=ω_n^kx=ωnk（n次单位根）：
A(ωnk)A(\omega_n^k)A(ωnk)=A0(ωn2k)+ωnk∗A1(ωn2k)=A_0(\omega_n^{2k})+\omega_n^{k}*A_1(\omega_n^{2k})=A0(ωn2k)+ωnk∗A1(ωn2k)
=A0(ωn2k)+ωnk∗A1(ωn2k)=A_0(\omega_\frac n2^{k})+\omega_n^{k}*A_1(\omega_\frac n 2^{k})=A0(ω2nk)+ωnk∗A1(ω2nk)
A(ωnk+n2)=A0(ωn2k+n)+ωnk+n2∗A1(ωn2k+n)A(\omega_n^{k+\frac n 2})=A_0(\omega_n^{2k+n})+\omega_n^{k+\frac n 2}*A_1(\omega_n^{2k+n})A(ωnk+2n)=A0(ωn2k+n)+ωnk+2n∗A1(ωn2k+n)
=A0(ωn2k)−ωnk∗A1(ωn2k)=A_0(\omega_\frac n2^{k})-\omega_n^{k}*A_1(\omega_\frac n 2^{k})=A0(ω2nk)−ωnk∗A1(ω2nk)
考虑A1(x)和A2(x)分别在(ωn21,ωn22,ωn23,...,ωn2n2−1)(\omega_\frac n 2^{1},\omega_\frac n 2^{2},\omega_\frac n 2^{3},...,\omega_\frac n 2^{\frac n 2-1})(ω2n1,ω2n2,ω2n3,...,ω2n2n−1)的点值表示已经求出，就可以O(n)求出A(x)在(ωn1,ωn2,ωn3,...,ωnn−1)(\omega_n ^{1},\omega_n ^{2},\omega_n ^{3},...,\omega_n ^{n-1})(ωn1,ωn2,ωn3,...,ωnn−1)处的点值表示。这个操作叫蝴蝶变换
而A1(x)和A2(x)是规模缩小了一半的子问题，所以不断向下递归分治。当n=1的时候返回。
注：这个过程一定要求每层都可以分成两大小相等的部分，所以多项式最高次项一定是2的幂，不是的话直接在最高次项补零QAQ。
时间复杂度O(nlog2n)O(nlog_2n)O(nlog2n)
IFFT（快速傅里叶逆变换）
我们已经将两个多项式从系数表示法转化成点值表示法相乘后，还要将结果从点值表示法转化为系数表示法，也就是IFFT（快速傅里叶逆变换）
首先思考一个问题，为什么要把ωnk\omega_n^kωnk（单位根）作为x代入？
当然是因为离散傅里叶变换特殊的性质，而这也和IFFT有关。
一个重要结论
把多项式A(x)的离散傅里叶变换结果作为另一个多项式B(x)的系数，取单位根的倒数即ωn0,ωn−1.....,ωn1−n\omega_n^0,\omega_n^{-1}.....,\omega_n^{1-n}ωn0,ωn−1.....,ωn1−n作为x代入B(x)，得到的每个数再除以n，得到的是A(x)的各项系数，这就实现了傅里叶变换的逆变换了。相当于在FFT基础上再搞一次FFT。
证明（个人觉得写的非常清楚，不想看的跳过吧）~~
设(y0,y1,y2,...,yn−1)(y_0,y_1,y_2,...,y_{n−1})(y0,y1,y2,...,yn−1)为多项式
A(x)=a0+a1x+a2x2+...+an−1xn−1A(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{n−1}x^{n−1}A(x)=a0+a1x+a2x2+...+an−1xn−1的离散傅里叶变换。
设多项式B(x)=y0+y1x+y2x2+...+yn−1xn−1B(x)=y_0+y_1x+y_2x^2+...+y_{n−1}x^{n−1}B(x)=y0+y1x+y2x2+...+yn−1xn−1
把离散傅里叶变换的ωn0,ωn1.....,ωnn−1\omega_n^0,\omega_n^1.....,\omega_n^{n-1}ωn0,ωn1.....,ωnn−1这n个单位根的倒数，即ωn0,ωn−1.....,ωn1−n\omega_n^0,\omega_n^{-1}.....,\omega_n^{1-n}ωn0,ωn−1.....,ωn1−n作为x代入B(x)B(x)B(x), 得到一个新的离散傅里叶变换(z0,z1,z2,...,zn−1)(z_0,z_1,z_2,...,z{n−1})(z0,z1,z2,...,zn−1)
zkz_kzk=∑i=0n−1yi(ωn−k)i\sum_{i=0}^{n−1}y_i(ω_n^{-k})^i∑i=0n−1yi(ωn−k)i
=∑i=0n−1(∑j=0n−1aj∗(ωni)j)(ωn−k)i\sum_{i=0}^{n−1}(\sum_{j=0}^{n-1}a_j*(\omega_n^i)^j)(ω_n^{-k})^i∑i=0n−1(∑j=0n−1aj∗(ωni)j)(ωn−k)i
=∑j=0n−1aj∗(∑i=0n−1(ωni)j−k)\sum_{j=0}^{n-1}a_j*(\sum_{i=0}^{n−1}(\omega_n^i)^{j-k})∑j=0n−1aj∗(∑i=0n−1(ωni)j−k)
当j−k=0j−k=0j−k=0时，∑i=0n−1(ωni)j−k=n\sum_{i=0}^{n−1}(\omega_n^i)^{j-k}=n∑i=0n−1(ωni)j−k=n
否则，通过等比数列求和可知：
∑i=0n−1(ωni)j−k\sum_{i=0}^{n−1}(\omega_n^i)^{j-k}∑i=0n−1(ωni)j−k=(ωnj−k)n−1ωnj−k−1\frac{(ω_n^{j−k})^n-1}{ω_n^{j−k}-1}ωnj−k−1(ωnj−k)n−1=(ωnn)j−k−1ωnj−k−1\frac{(ω_n^{n})^{j-k}-1}{ω_n^{j−k}-1}ωnj−k−1(ωnn)j−k−1=1−1ωnj−k−1\frac{1-1}{ω_n^{j−k}-1}ωnj−k−11−1=0
（因为ωnn\omega_n^nωnn=ωn0\omega_n^0ωn0=1）
所以
zkz_kzk=n∗akn*a_kn∗ak
aka_kak=zkn\frac {z_k} nnzk ,得证。
怎么求单位根的倒数呢？
单位根的倒数其实就是它的共轭复数 。不明白的可以看看前面共轭复数的介绍
到现在你已经完全学会FFT了，但写递归还是可能会超时，所以我们需要优化
优化：迭代FFT
在进行FFT时，我们要把各个系数不断分组并放到两侧，一个系数原来的位置和最终的位置的规律如下。
初始位置：ωn0\omega_n^0ωn0 ωn1\omega_n^1ωn1 ωn2\omega_n^2ωn2 ωn3\omega_n^3ωn3 ωn4\omega_n^4ωn4 ωn5\omega_n^5ωn5 ωn6\omega_n^6ωn6 ωn7\omega_n^7ωn7
第一轮后：ωn0\omega_n^0ωn0 ωn2\omega_n^2ωn2 ωn4\omega_n^4ωn4 ωn6\omega_n^6ωn6|ωn1\omega_n^1ωn1 ωn3\omega_n^3ωn3 ωn5\omega_n^5ωn5 ωn7\omega_n^7ωn7
第二轮后：ωn0\omega_n^0ωn0 ωn4\omega_n^4ωn4|ωn2\omega_n^2ωn2 ωn6\omega_n^6ωn6|ωn1\omega_n^1ωn1 ωn5\omega_n^5ωn5|ωn3\omega_n^3ωn3 ωn7\omega_n^7ωn7
第三轮后：ωn0\omega_n^0ωn0|ωn4\omega_n^4ωn4|ωn2\omega_n^2ωn2|ωn6\omega_n^6ωn6|ωn1\omega_n^1ωn1|ωn5\omega_n^5ωn5|ωn3\omega_n^3ωn3|ωn7\omega_n^7ωn7
“|”代表分组界限
把每个位置用二进制表现出来。位置x上的数，最后所在的位置是“x二进制翻转得到的数”，例如4(100）最后到了1（001）5(101)最后不变为5(101)，3(011)最后到了6(110)。
所以我们先把每个数放到最后的位置上，然后不断向上还原，同时求出点值表示就可以啦。
迭代版FFT就比之前的递归版快多了,真√O(nlog2n)O(nlog_2n)O(nlog2n)绝妙算法
代码实现FFT
下面是本人写的FFT加速高精度乘法的代码（并有详细注释）：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//complex是stl自带的定义复数的容器
typedef complex<double> cp;
#define N 2097153
//pie表示圆周率π
const double pie=acos(-1);
int n;
cp a[N],b[N];
int rev[N],ans[N];
char s1[N],s2[N];
//读入优化
int read(){int sum=0,f=1;char ch=getchar();while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){sum=(sum<<3)+(sum<<1)+ch-'0';ch=getchar();}return sum*f;
}
//初始化每个位置最终到达的位置
{int len=1<<k;for(int i=0;i<len;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(k-1));
}
//a表示要操作的系数，n表示序列长度
//若flag为1，则表示FFT，为-1则为IFFT(需要求倒数）
void fft(cp *a,int n,int flag){ for(int i=0;i<n;i++){//i小于rev[i]时才交换，防止同一个元素交换两次，回到它原来的位置。 if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);}for(int h=1;h<n;h*=2)//h是准备合并序列的长度的二分之一{cp wn=exp(cp(0,flag*pie/h));//求单位根w_n^1 for(int j=0;j<n;j+=h*2)//j表示合并到了哪一位{cp w(1,0);for(int k=j;k<j+h;k++)//只扫左半部分，得到右半部分的答案{cp x=a[k];cp y=w*a[k+h];a[k]=x+y; //这两步是蝴蝶变换 a[k+h]=x-y;w*=wn; //求w_n^k }}}//判断是否是FFT还是IFFT if(flag==-1)for(int i=0;i<n;i++)a[i]/=n;
}
int main(){n=read(); scanf("%s%s",s1,s2);//读入的数的每一位看成多项式的一项，保存在复数的实部 for(int i=0;i<n;i++)a[i]=(double)(s1[n-i-1]-'0');for(int i=0;i<n;i++)b[i]=(double)(s2[n-i-1]-'0');//k表示转化成二进制的位数 int k=1,s=2;while((1<<k)<2*n-1)k++,s<<=1;init(k);//FFT 把a的系数表示转化为点值表示 fft(a,s,1);//FFT 把b的系数表示转化为点值表示 fft(b,s,1);//FFT 两个多项式的点值表示相乘 for(int i=0;i<s;i++)a[i]*=b[i];//IFFT 把这个点值表示转化为系数表示 fft(a,s,-1);//保存答案的每一位(注意进位） for(int i=0;i<s;i++){//取实数四舍五入，此时虚数部分应当为0或由于浮点误差接近0ans[i]+=(int)(a[i].real()+0.5);ans[i+1]+=ans[i]/10;ans[i]%=10;}while(!ans[s]&&s>-1)s--;if(s==-1)printf("0");elsefor(int i=s;i>=0;i--)printf("%d",ans[i]);return 0;
}
后记
这篇博客写了一天，终于写完了，完结撒花✿✿ヽ(°▽°)ノ✿
FWT我来啦！！！
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