前言

三角函数是高中阶段比较常见的周期函数，研究其性质或者解有关三角函数不等式时，肯定少不了周期性的考量。一般情况下基本周期我们都选\([0，2\pi]\)来研究，但不是所有问题都这样选取周期就简单，以下举例说明。

一、研究单调性

例1 研究函数\(y=2sin(3x+\cfrac{\pi}{4})+1\)的单调区间。(整体思想：\(X=3x+\cfrac{\pi}{4}\))

分析：由于函数\(y=2sin(3x+\cfrac{\pi}{4}[X])+1\)的单调区间和函数\(y=sinX\)的单调区间相同，原因是函数\(y=sinx\)在纵轴方向上平移和伸缩时并不影响原函数的单调区间

故只需要研究\(y=sinX\)的单调性，就可以仿照完成问题的求解。

函数\(y=sinX\)在区间\([2k\pi-\cfrac{\pi}{2}，2k\pi-\cfrac{\pi}{2}](k\in Z)\)上单调递增，

在区间\([2k\pi+\cfrac{\pi}{2}，2k\pi+\cfrac{3\pi}{2}](k\in Z)\)上单调递减，

故令\(3x+\cfrac{\pi}{4}\in [2k\pi-\cfrac{\pi}{2}，2k\pi+\cfrac{\pi}{2}](k\in Z)\)，

即得到原函数的单调递增区间；

令\(3x+\cfrac{\pi}{4}\in [2k\pi+\cfrac{\pi}{2}，2k\pi+\cfrac{3\pi}{2}](k\in Z)\)，

即得到原函数的单调递减区间；

小结：本类问题中，基本周期的选择是\([-\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{3\pi}{2}]\)，原因是这样选用的周期，得到的单调区间是连续的。如果选取基本周期为\([0，2\pi]\)，后续的表达由于不连续，反倒很不方便。

二、研究解不等式

例2 解不等式\(2sin(x+\cfrac{\pi}{4})-1>0\)。

分析：先转化为\(sin(x+\cfrac{\pi}{4})>\cfrac{1}{2}\)，此时基本周期选\([0，2\pi]\)，

可以看到，当\(sinx>\cfrac{1}{2}\)时，在基本周期内的解集为\((\cfrac{\pi}{6}，\cfrac{5\pi}{6})\)，

故先令\(x+\cfrac{\pi}{4}\in (\cfrac{\pi}{6}，\cfrac{5\pi}{6})\)，解得

\(x\in (\cfrac{\pi}{6}-\cfrac{\pi}{4}，\cfrac{5\pi}{6}-\cfrac{\pi}{4})\)，即\(x\in (-\cfrac{\pi}{12}，\cfrac{7\pi}{12})\)

故在\(R\)上的原不等式的解集为\(x\in (2k\pi-\cfrac{\pi}{12}，2k\pi+\cfrac{7\pi}{12})(k\in Z)\)。

例-变式 解不等式\(2sin(x+\cfrac{\pi}{4})-1<0\)。

这时候我们如果选基本周期为\([0，2\pi]\)，就很不方便，

原因是\(sinx<\cfrac{1}{2}\)的解集为\([0，\cfrac{\pi}{6})\)和\((\cfrac{5\pi}{6}，2\pi)\)是不连续的，表达很不方便，

那么怎么样作能更好些呢？

此时选基本周期为\([\cfrac{\pi}{6}，\cfrac{13\pi}{6}]\)，或者选基本周期为\([\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{5\pi}{2}]\)，都很方便。

比如选基本周期为\([\cfrac{\pi}{6}，\cfrac{13\pi}{6}]\)，

则先得到\(sin(x+\cfrac{\pi}{4})<\cfrac{1}{2}\)在基本周期内的解集为

\(x+\cfrac{\pi}{4}\in (\cfrac{5\pi}{6}，\cfrac{13\pi}{6})\)，从而解得

\(x \in (\cfrac{7\pi}{12}，\cfrac{23\pi}{12})\)，

然后拓展得到\(R\)上的原不等式的解集为\(x\in (2k\pi+\cfrac{7\pi}{12}，2k\pi+\cfrac{23\pi}{12})(k\in Z)\)。