转矩方程

定子αβ静止坐标系

从三相坐标系下的转矩方程开始，换算定子αβ静止坐标系的转矩方程：
T e = 0.5 n p ( i r T d L r s ( θ r ) d θ r i s + i s T d L s r ( θ r ) d θ r i r ) = 0.5 n p i r α β T ( T ( − θ r ) T ( T 32 − 1 ) T d L r s ( θ r ) d θ r T 32 − 1 ) i s α β + 0.5 n p i s α β T ( ( T 32 − 1 ) T d L r s ( θ r ) d θ r T 32 − 1 T ( − θ r ) ) i r α β \begin{align*} T_{e}&= 0.5n_{p}\left(\boldsymbol{i}_{r}^{T} \frac{d \boldsymbol{L}_{rs}(\theta_{r})}{d\theta_{r}} \boldsymbol{i}_{s}+\boldsymbol{i}_{s}^{T} \frac{d \boldsymbol{L}_{sr}(\theta_{r})}{d\theta_{r}} \boldsymbol{i}_{r}\right) \\ &= 0.5n_{p}\boldsymbol{i}_{r \alpha \beta}^{T}\left( T(-\theta_{r})^{T}(T_{32}^{-1})^{T}\frac{d \boldsymbol{L}_{rs}(\theta_{r})}{d\theta_{r}}T_{32}^{-1}\right)\boldsymbol{i}_{s \alpha \beta}\\ &+0.5n_{p}\boldsymbol{i}_{s \alpha \beta}^{T}\left( (T_{32}^{-1})^{T}\frac{d \boldsymbol{L}_{rs}(\theta_{r})}{d\theta_{r}}T_{32}^{-1}T(-\theta_{r}) \right)\boldsymbol{i}_{r \alpha \beta}\\ \end{align*} Te=0.5np(irTdθrdLrs(θr)is+isTdθrdLsr(θr)ir)=0.5npirαβT(T(−θr)T(T32−1)TdθrdLrs(θr)T32−1)isαβ+0.5npisαβT((T32−1)TdθrdLrs(θr)T32−1T(−θr))irαβ
化简得到：
T e = 1.5 n p L M ( i r α i s β − i r β i s α ) , ( L M = 1.5 L m ) T_{e}=1.5 n_{p}L_{M}(i_{r \alpha}i_{s \beta}-i_{r \beta}i_{s \alpha}) ,\quad\quad(L_{M}= 1.5L_{m}) Te=1.5npLM(irαisβ−irβisα),(LM=1.5Lm)

其中，用到了：
i s = T 32 − 1 i s α β i r = T 32 − 1 T ( − θ r ) i r α β i r T = i r α β T T ( − θ r ) T ( T 32 − 1 ) T \begin{align*} \boldsymbol{i}_{s} &= T_{32}^{-1} \boldsymbol{i}_{s \alpha \beta}\\ \boldsymbol{i}_{r} &= T_{32}^{-1}T(-\theta_{r}) \boldsymbol{i}_{r \alpha \beta}\\ \boldsymbol{i}_{r}^{T}&= \boldsymbol{i}_{r \alpha \beta}^{T} T(-\theta_{r})^{T}(T_{32}^{-1})^{T} \end{align*} isirirT=T32−1isαβ=T32−1T(−θr)irαβ=irαβTT(−θr)T(T32−1)T

计算过程：

再把定子转子的磁链方程代入，转矩方程也可以用磁链来表示（把电流全部用磁链表示），如下：

类似地，也可以使用磁链和电流的乘积表示。因此，转矩可以在4个物理量中选择2个来表示：

定子电流
定子磁链
转子电流
转子磁链

所有6种形式的转矩表达式：

T e = 1.5 n p L M ( i s β i r α − i s α i r β ) = 1.5 n p ( ψ s α i s β − ψ s β i s α ) = 1.5 n p ( ψ r β i r α − ψ r α i r β ) = 1.5 n p L M L r ( ψ r α i s β − ψ r β i s α ) = 1.5 n p L M L s ( ψ s β i r α − ψ s α i r β ) = 1.5 n p L M σ L r L s ( ψ r α ψ s β − ψ r β ψ s α ) , ( σ = 1 − L M 2 L s L r ) \begin{align*} T_{e}&= 1.5 n_{p}L_{M}(i_{s \beta}i_{r \alpha}-i_{s \alpha}i_{r \beta}) \\ &= 1.5n_{p}(\psi_{s \alpha}i_{s \beta}- \psi_{s \beta}i_{s \alpha})\\ &= 1.5n_{p}(\psi_{r \beta}i_{r \alpha}- \psi_{r \alpha}i_{r \beta}) \\ &= \frac{1.5n_{p}L_{M}}{L_{r}}(\psi_{r \alpha}i_{s \beta}- \psi_{r \beta}i_{s \alpha})\\ &= \frac{1.5n_{p}L_{M}}{L_{s}}(\psi_{s \beta}i_{r \alpha}-\psi_{s \alpha}i_{r\beta})\\ &= \frac{1.5n_{p}L_{M}}{\sigma L_{r}L_{s}}(\psi_{r \alpha}\psi_{s \beta}- \psi_{r \beta}\psi_{s \alpha}),\quad \quad (\sigma= 1- \frac{L_{M}^{2}}{L_{s}L_{r}}) \end{align*} Te=1.5npLM(isβirα−isαirβ)=1.5np(ψsαisβ−ψsβisα)=1.5np(ψrβirα−ψrαirβ)=Lr1.5npLM(ψrαisβ−ψrβisα)=Ls1.5npLM(ψsβirα−ψsαirβ)=σLrLs1.5npLM(ψrαψsβ−ψrβψsα),(σ=1−LsLrLM2)

dq坐标系

dq坐标系只做了旋转，幅值不变，因此转矩方程的形式与定子αβ静止坐标系相同。按照之前约定的坐标轴关系，只是把α改为d，β改为q。例如，
T e = 1.5 n p L M ( i s q i r d − i s d i r q ) \begin{align*} T_{e}&= 1.5 n_{p}L_{M}(i_{sq}i_{rd}-i_{sd}i_{rq}) \end{align*} Te=1.5npLM(isqird−isdirq)

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