2021.12.4 星期六

冒泡排序 bubblesort

swap()函数

迭代与递归

2021.12.6 星期一

1<<2

分而治之

fib()

动态规划

最长公共子序列 LCS

2021.12.4 星期六

复杂度分析：循环分析

冒泡排序 bubblesort

简介：排序过程中，相邻元素不断交换，一些元素被慢慢换到最后，看起来就像是元素在冒泡一样。

算法原理：以递增为例，从头开始比较相邻的两个元素，如果第i比第i+1大，则掉换二者位置，再进行下一个相邻的比较，这就是一次循环。下一次循环再从头开始，每次都循环直到没有发生元素交换，则说明第i个元素都比第i+1个元素小，则冒泡排序完成。

时间复杂度：内循环首先要扫描n-1对相邻元素，最坏的结果也是交换n-1次，而元素的比较&元素的交换都是基本操作，因此需要2(n-1)次操作。外循环最多循环n-1次。因此整体的时间复杂度：T(n)=O(2(n-1)²)=O(n²)

C++代码实现：

swap()函数

交换了swap(A,B)中A,B的值

void bubblesortA(int A[],int n){
bool sorted=false; //初始假定尚未排序
while(!sorted){
sorted=true;
for(i=1;i<n;i++){
if(A[i-1]>A[i]){
swap(A[i-1],A[i]);
sorted=false;//证明还没有整体排序完成，清楚排序标志
}
}
n--;//每次排序必然保证最后一个是全场最大的，因此减少一次比较
}
}

void bubblesortA(int A[],int n){
for(bool sorted=false;sorted=!sorted;n--){
for(i=1;i<n;i++){
if(A[i-1]>A[i]){
swap(A[i-1],A[i]);
sorted=false;//证明还没有整体排序完成，清楚排序标志
}
}
n--;//每次排序必然保证最后一个是全场最大的，因此减少一次比较
}
}

迭代与递归

计算任意n个整数之和

迭代：

int SumI(int A[],int n){
int sum=0;
for(i=0;i<n;i++){
sum+=A[i];
}
return sum;

递归：减而治之

int sum(int A[],int n){
return(n<1)?0:sum(A,n-1)+A[n-1];
}

2021.12.6 星期一

1<<2

<<的意思，是将1的二进制编码向左移动2位，由 00000001 变成 00000100

值由1变成4

同理，>>向左移动

分而治之

//举例子：
sum(int A[], int lo, int hi){ //求A[]数组中从lo到hi中的和
if(lo==hi) return A[lo];
int mi = (lo+hi)>>1; //一分为二
return sum(A,lo,mi)+sum(A,mi,hi);
}

分而治之是将计算分成：1次规模为n，两次规模为n/2, 四次规模为n/4... 1+2+4+...+n

减而治之是越来越小：1+2+...+n

fib()

斐波那契数列，又叫黄金分割数列/兔子数列，F(0)=0,F(1)=1... 核心思想：F(n)=F(n-1)+F(n-2)

递归版本：

int fib(){
return (n<2)? n: fib(n-1)+fib(n-2);
}

递归版本的会重复利用递归实例，时间和空间都用得很多。如果用迭代的方法呢？

动态规划

颠倒计算方法，从递归基出发，由自顶而下递归，变成自底而上迭代，迭代版本：

fib(){
int f=0,b=1;
while(n-->0){
b=b+f;
f=b-f;
}
return b;
}

最长公共子序列 LCS

可能有多个公共子序列，因此只需找出其中一个或者最长的长度

可能有歧义：两个字符会同时满足

递归版本：

对于A[0,n]和B[0,m]，LCS(A,B) 有三种情况

1. A B 都为空

2.A B 最后字符相同，减而治之

3. A B最后字符不相同，最后的解有两种情况：A 或 B 对公共子序列没有贡献，取 A B

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邓俊辉《数据结构》-复杂度/递归学习笔记

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