近似数算术运算的误差和有效数位

近似数算术运算的误差

给定函数 u = f ( x , y ) u=f(x,y) u=f(x,y)，设 x , y x,y x,y分别为 x ∗ , y ∗ x^*,y^* x∗,y∗的近似值，则绝对误差为
e ( u ) = f ( x ∗ , y ∗ ) − f ( x , y ) ≈ ∂ f ( x , y ) ∂ x ( x ∗ − x ) + ∂ f ( x , y ) ∂ y ( y ∗ − y ) e(u)=f(x^*,y^*)-f(x,y)\approx \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}(x^*-x)+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}(y^*-y) e(u)=f(x∗,y∗)−f(x,y)≈∂x∂f(x,y)(x∗−x)+∂y∂f(x,y)(y∗−y)
即
e ( u ) = ∂ f ( x , y ) ∂ x e ( x ) + ∂ f ( x , y ) ∂ y e ( y ) (3) e(u)=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}e(x)+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}e(y) \tag{3} e(u)=∂x∂f(x,y)e(x)+∂y∂f(x,y)e(y)(3)
而相对误差为 e r ( u ) = e ( u ) u ≈ ∂ f ( x , y ) ∂ x e ( x ) u + ∂ f ( x , y ) ∂ y e ( y ) u e_r(u)=\frac{e(u)}{u}\approx \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\frac{e(x)}{u}+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\frac{e(y)}{u} er(u)=ue(u)≈∂x∂f(x,y)ue(x)+∂y∂f(x,y)ue(y)，即
e r ( u ) = ∂ f ( x , y ) ∂ x x u e r ( x ) + ∂ f ( x , y ) ∂ y y u e r ( y ) (4) e_r(u)=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\frac{x}{u}e_r(x)+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\frac{y}{u}e_r(y) \tag{4} er(u)=∂x∂f(x,y)uxer(x)+∂y∂f(x,y)uyer(y)(4)
由(3)、(4)两式可得到两个近似数进行算术运算的计算公式为：
e ( x + y ) = e ( x ) + e ( y ) , e r ( x + y ) = x x + y e r ( x ) e ( x − y ) = e ( x ) − e ( y ) , e r ( x − y ) = x x − y e r ( x ) + y x − y e r ( y ) e ( x y ) ≈ y ⋅ e ( x ) − x ⋅ e ( y ) y 2 , e r ( x y ) ≈ e r ( x y ) ≈ e r ( x ) − e r ( y ) ⋅ y ≠ 0 e(x+y)=e(x)+e(y),\quad e_r(x+y)=\frac{x}{x+y}e_r(x) \\ e(x-y)=e(x)-e(y),\quad e_r(x-y)=\frac{x}{x-y}e_r(x)+\frac{y}{x-y}e_r(y) \\ e(\frac{x}{y})\approx \frac{y·e(x)-x·e(y)}{y^2},\quad e_r(\frac{x}{y})\approx e_r(\frac{x}{y})\approx e_r(x)-e_r(y)·y\neq 0 e(x+y)=e(x)+e(y),er(x+y)=x+yxer(x)e(x−y)=e(x)−e(y),er(x−y)=x−yxer(x)+x−yyer(y)e(yx)≈y2y⋅e(x)−x⋅e(y),er(yx)≈er(yx)≈er(x)−er(y)⋅y=0

近似数算运算的有效数位

1）加减运算

近似数进行加减运算时，把其中小数位数较多的数四舍五入，使其比小数位数最少的数多一位小数，计算结果保留的小数位数与原近似数中小数位数最少者相同。例如：
x = 2.718 , y = 3.40823 x + y ≈ 2.718 + 3.4082 ≈ 6.126 x − y ≈ 2.718 − 3.4082 ≈ − 0.690 x=2.718,y=3.40823 \\ x+y\approx 2.718+3.4082\approx 6.126 \\ x-y\approx 2.718-3.4082\approx -0.690 x=2.718,y=3.40823x+y≈2.718+3.4082≈6.126x−y≈2.718−3.4082≈−0.690
2）乘除运算

近似数进行乘除运算时，各因子保留的位数应比有效数字位数最少者的位数多一位，所得结果的有效位数字与原近似数中有效数字位数最少者的位数最多少一位。例如：
x = 2.501 , y = 1.2 x × y = 2.50 × 1.2 ≈ 3.0 x ÷ y = 2.50 ÷ 1.2 ≈ 2.1 x=2.501,y=1.2 \\ x\times y = 2.50\times 1.2 \approx 3.0\\ x\div y=2.50\div 1.2 \approx 2.1 x=2.501,y=1.2x×y=2.50×1.2≈3.0x÷y=2.50÷1.2≈2.1
3）乘方与开方运算

近似数在进行乘方与开方运算时，原来近似数有几位有效数字，计算结果仍然保留几位有效数字。例如
x = 1.2 x 2 ≈ 1.4 , x ≈ 1.1 x=1.2 \\ x^2\approx 1.4,\quad \sqrt x\approx 1.1 x=1.2x2≈1.4,x ≈1.1
4）对数运算

近似数在进行对数运算时，所取对数的位数与其真数的有效数字位数相同。例如：
l g 2.718 ≈ 0.4343 , l g 0.0618 ≈ − 1.21 lg2.718\approx 0.4343 , \quad lg0.0618\approx -1.21 lg2.718≈0.4343,lg0.0618≈−1.21
在实际计算过程中，中间计算结果应比上述各法则规定的位数多一位，在进行最后一次计算时这一位要进行四舍五入。

近似数算术运算的误差和有效数位相关推荐

python理解浮点数运算的误差_浅谈浮点数运算的误差
测试程序我们知道,浮点数运算存在舍入误差.在某些特殊的情况下,舍入误差还可以累计到非常大的地步.让我们来看一下测试程序吧: 1 usingSystem;2 3 static classDecimal ...
算白塞尔公式matlab,中误差计算公式
与<中误差计算公式>相关的范文内江师范学院数值分析实验报告册编制张莉审定牟廉明专业: 班级:级学号: 姓名: 数学与信息科学学院 2013年9月说明一 ...
无损APE，FLAC，盗版CD与原CD的差别（转载）
// 我也算是个发烧友,最近对无损压缩格式的的音质问题产生了思考,这篇文章涉及到了数字化音乐的原理,对现在流行的 // 音响DAC的制作有借鉴意义 // 以下为转载有关原版.盗版激光唱片 ...
工程数学（1）——误差、有效数字以及近似值的运算问题
文章目录一.误差和有效数字 1.误差 2.有效数字二.近似值的加减乘除运算 1.近似值的加减 2.近似值的乘除 3.混合运算三.算术运算的误差界和相对误差界四.病态数学问题和条件数一.误差和 ...
《数值分析》学习笔记 ·002——误差知识
文章目录一.误差类型与误差来源二.绝对误差与相对误差 1.绝对误差与绝对误差限 2.相对误差与相对误差限三.有效数字 1.有效数字 2.有效数字与相对误差限的关系四.数值计算中的误差估计 1. ...
二进制浮点数以及二进制浮点数算术运算
二进制浮点数以及二进制浮点数算术运算二进制浮点数表示半精度浮点数单精度浮点数双精度浮点数特殊情况浮点数的运算步骤一.对阶二.尾数运算三.结果规格化左规操作右规操作四. 舍入处理 ...
有效数字 | 相对误差与有效数位
有效数字数学上用"四舍五入"的法则将一个位数很多的数表示成一定位数的数.如果一个近似数的误差限是它某一位的半个单位,则称它准确到这一位(即该位数字是准确的.有效的和可靠的).并且 ...
java浮点数误差_浮点数运算的误差
浮点数运算的误差在 JavaScript 中整数和浮点数都属于number 数据类型,所有数字都是使用64位浮点数形式储存,遵循IEEE-754双精度标准存储,即便整数也是如此. 所以我们在打印 1 ...
mysql dp.cal 显示汉子_计算1到N中各个数字出现的次数 --数位DP
题意:给定一个数n,问从1到n中,0~9这10个数字分别出现了多少次.比如366这个数,3出现了1次,6出现了2次. 题解:<剑指offer>P174:<编程之美>P132 都 ...

近似数算术运算的误差和有效数位

近似数算术运算的误差和有效数位

近似数算术运算的误差和有效数位相关推荐

最新文章

热门文章