ai数学之矩阵特征值、特征向量、矩阵分解

特征值和特征向量的意义

从定义出发，Ax=cx：A为n阶矩阵，c为特征值，x为特征向量。
矩阵A乘以x表示，对向量x进行一次转换（旋转或拉伸）（是一种线性转换），而该转换的效果为常数c乘以向量x（即只进行拉伸）。
我们通常求特征值和特征向量即为求出该矩阵能使哪些向量（当然是特征向量）只发生拉伸，使其发生拉伸的程度如何（特征值大小）。这样做的意义在于，看清一个矩阵在那些方面能产生最大的效果（power），并根据所产生的每个特征向量（一般研究特征值最大的那几个）进行分类讨论与研究。

什么意思呢？
比如Ax = cx
x是一个向量，c是一个常数，那么cx只是使得这个向量发生了拉伸，而Ax = cx，所以Ax只是使x这个向量发生了一次拉伸操作，拉伸的幅度就是c，那么换句话来说呢，矩阵A的特征向量x，向量x可以认为是一个方向，那么可以说矩阵A的特征向量x就是矩阵A能够发挥作用的方向，作用的力度是c，如果x这个向量有多列的话，那么说明A能够发挥作用的方向有很多个（多个列向量），对应多个特征值c,那么我们一般作用力度比较大（c比较大）的那几个方向（特征向量）来研究

注意：上面的矩阵是n阶矩阵，也就是方阵，只有方阵才有特征值和特征向量

特征分解

前提，A必须是可对角化的，如果A是可对角化，并且是对称矩阵，那么

w 是A的所有特征向量构成的正交矩阵，thegma是特征值构成的对角阵

一个向量乘以A那么代表的意思是什么呢？

X * A = X * W * Thelma * W (T)
W是正交阵，一个向量乘以一个正交阵的话，向量大小不会改变，只会改变方向
所以X * W结果改变了X的方向，那么具体改变到那个方向了呢？
W是A的特征向量，意思就是A能在W这个方向对它进行缩放操作，或者只有在W这个方向上A矩阵才有对向量缩放的能力，
所以X * W它其实是将X转到W这个方向，因为只有转到X这个方向，A才能对X进行缩放或者起作用，
转到了X 这个方向后然后就是* Thelma，这个其实具体对X的每个维度缩放多少了，
最终* W (T)，因为 W (T)也是正交的，所以也是转一个方向，他的方向肯定和W方向相反，所以* W (T)又将X转回了原来的方向，所以
X * A = X * W * Thelma * W (T)的含义是？
先讲X旋转到A矩阵可以缩放的（起作用）方向，然后进行缩放操作，然后在转回来

其实按照这个说法，那么只有一个矩阵A能被特征分解的话，那么它一定能够对某个向量进行缩放了

结论：
如果A只是一个方阵的话，那么A只能在它的特征向量的方向上对向量进行缩放，但是如果A是个对称方阵，并且能够对角化，也就是能够被特征分解为

上面的式子的话，那么A可以对任意方向的向量进行缩放了，它的过程是先旋转到它能够缩放的方向，然后进行缩放操作，然后再转回来

svd分解

我们上面也说了，只有方阵，并且是可对角化的，才能进行特征分解，那么不是方阵呢？能不能呢？答案是可以的

假设我们的矩阵A是一个
m×n
的矩阵，那么我们定义矩阵A的SVD为：

它的思路是，既然A不是方阵，那么A * A T ，肯定是方阵，A T * A肯定是方阵，上面的V矩阵就是A T * A的n个特征向量了，U矩阵就是A * A T的m个特征向量构成的矩阵了中间的thegma是它们的特征值开根号

其中U和V都是正交阵

那么X * A = X * U * thegma * V T它的意义是什么呢？
先* U，因为 U也是正交阵，所以也是转一个方向，它这个方向是A * A T能够作用的方向
然后* thegma也就是进行缩放操作，也就是在A * A T能够作用的方向进行缩放
然后* V T，因为V也是个正交阵，所以也是进行旋转方向，但是因为 U和V不一样，也不是互为对称关系，所以它并不是转回来，而是转到另一个方向
就像下面过程：