【梳理】离散数学 第2版 第9章 代数系统 9.1 二元运算及其性质
教材:离散数学 第二版 屈婉玲、耿素云、张立昂
9.1 二元运算及其性质
(原文档高清截图在最后,已排版)
1、设集合S,函数 f: S×S→S 称为S上的二元运算,简称二元运算。
2、2、一个运算为S上的二元运算,需要符合如下两点:
(1)集合S中的任意两个元素都能运算,且结果唯一;
(2)(1)中的任何运算结果都属于S,即S对该运算封闭。
例:
(1)自然数集N上的加法和乘法都是N上的二元运算,而减法和除法不是。因为减法的结果可能出现零、负数,而除法的结果可能是小数。
(2)整数集Z上的加减和乘法都是Z上的二元运算,而除法不是,原因同(1)。
(3)非零实数集R上的乘除都是R上的二元运算,而加减不是。因为非零实数加减可以产生零。
(4)对n(n≥2)阶实矩阵Mn( R ):矩阵加减和矩阵乘法都是Mn( R )上的二元运算。
(5)对集合S,初级并、初级交、相对补、对称差都是幂集P(S)上的二元运算。记SS(第二个S上标)为S上所有函数的集合,对建立在S上的任意两个函数作的复合运算都是SS上的二元运算。
(集合S的广义并 集合S的元素的元素构成的集合称作集合S的广义并)
(集合S的广义交 集合S的所有元素的公共元素构成的集合称作集合S的广义交)
3、设集合S,f:S→S 称为S上的一元运算,简称一元运算。
例:
(1)对整数集Z、有理数集Q、实数集R,求相反数是一元运算。
(2)对非零有理数集Q*、非零实数集R*,求倒数是一元运算。
(3)对复数集C,求共轭复数是一元运算。
(4)对幂集P(U),U为全集,则绝对补是一元运算。
(5)设A为S上全部双射函数的集合,则求一个双射函数的反函数为一元运算。
(设非空集合X、Y,如果Y中任一元素均对应有X,称f为由X到Y的满射。若x1≠x2则f(x1)≠f(x2),则称f为从X到Y的单射。f既是单射又是满射,称为一一映射或双射。)
4、
例:
(1)实数集R上,加法和乘法都可以交换,而减法和除法不能。幂集上的初级并、初级交、对称差都是可交换的,但是相对补不可以。
(2)对n(n≥2)阶实矩阵Mn( R ):矩阵加法可交换,而减法、乘法不可以。
(3)任意两个函数的复合运算一般都不能交换。
5、
例:
(1)对自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C,加法和乘法都满足结合律,矩阵加法和矩阵乘法也满足结合律。集合的初级并、初级交、对称差也是可以结合的,函数的复合也是可结合的。
6、对满足结合律的二元运算,如果某表达式仅含该运算符,就可以任意增删括号改变运算顺序。
7、幂等律
8、幂等元
例:
(1)对任意集合S,因为,所以集合的初级并、初级交符合幂等律。但对称差、相对补一般不适合幂等律,但空集是幂等元。
(2)一般加法和一般乘法不适合幂等律,但0是加法的幂等元,0、1是乘法的幂等元。
9、
注意,是括号外运算对括号内运算符合分配律。
实数集R上乘法对加法可分配,n阶实矩阵(当n=1时,实矩阵相当于普通的实数)的矩阵乘法对矩阵加法也是可分配的。幂集P(S)上,初级并、初级交是互相可分配的。
当括号中含有多于2项时,分配就变成广义分配。一旦某运算对分配律成立,那么该运算也对广义分配律成立。
10、吸收律
11、单位元
例:
(1)自然数集N上,0、1分别是加法和乘法的单位元。n阶矩阵中,零矩阵是矩阵加的单位元,而n阶单位矩阵是矩阵乘的单位元。
(2)幂集P(S)上,∅和S分别是是并和交的单位元。
(3)SS上,恒等函数I是关于复合运算的单位元。
12、单位元唯一性定理 对二元运算,如果存在左、右单位元,那么左右单位元相等,且该运算仅有唯一单位元。由单位元的定义证明相等,然后设不同的单位元e’,结合单位元的定义求得e’ = e,证毕。
13、零元
例:
自然数集N上,0是乘法的零元,加法没有零元。n阶矩阵中,n阶零矩阵是矩阵乘法的零元,而矩阵加法没有零元。幂集P(S)上并、交的零元分别是S、∅,而对称差没有零元。
14、零元唯一性定理 对二元运算,如果存在左、右零元,那么左右零元相等,且该运算仅有唯一零元。证法类似12。
15、
16、可逆
例:
(1)自然数集N上只有0有对加法的逆元0。如果对整数集Z,任何元素的加法逆元都是其相反数。对n阶矩阵M,加法逆元是。只有实可逆矩阵存在乘法逆元。
n阶矩阵可逆的充要条件是矩阵满秩,或者行列式不为零(非奇异)。
(2)幂集P(S)中,对∪运算,只有∅有逆元,就是它本身。对∩运算,只有S为逆元,就是S本身。两种情况中,其它元素都没有逆元。
17、逆元唯一性定理 对可结合的二元运算,如果存在左逆元和右逆元,那么左右逆元相等,且该运算只有唯一逆元。结合逆元的定义通过一些等价变换可以完成证明。
18、消去律
例:
实数集R的加法、减法和乘法都满足消去律。幂集的并、交一般不满足消去律,但对称差满足消去律。矩阵的乘法一般也不满足消去律而矩阵加法、减法可以。
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