Delaunay三角剖分算法初探

Delaunay三角网在空间邻近分析上是一种较好的支持模型, 广泛应用于空间聚类、多边形群的合并、人像关键点提取、形态分析中。

问题：一堆二维点中寻找一个与目标点最近(欧氏距离最小)的点。

1. 三角剖分与Delaunay剖分的定义

如何把一个散点集合剖分成不均匀的三角形网格，这就是散点集的三角剖分问题，散点集的三角剖分，对数值分析以及图形学来说，都是极为重要的一项预处理技术。该问题图示如下：

1.1. 三角剖分定义

【定义】三角剖分：假设V是二维实数域上的有限点集，边e是由点集中的点作为端点构成的封闭线段, E为e的集合。那么该点集V的一个三角剖分T=(V,E)是一个平面图G，该平面图满足条件：

除了端点，平面图中的边不包含点集中的任何点。
没有相交边。
平面图中所有的面都是三角面，且所有三角面的合集是散点集V的凸包。

1.2. Delaunay三角剖分的定义

在实际中运用的最多的三角剖分是Delaunay三角剖分，它是一种特殊的三角剖分。先从Delaunay边说起：
【定义】Delaunay边：假设E中的一条边e（两个端点为a,b），e若满足下列条件，则称之为Delaunay边：存在一个圆经过a,b两点，圆内(注意是圆内，圆上最多三点共圆)不含点集V中任何其他的点，这一特性又称空圆特性。
【定义】Delaunay三角剖分：如果点集V的一个三角剖分T只包含Delaunay边，那么该三角剖分称为Delaunay三角剖分。

1.3.Delaunay三角剖分的准则

要满足Delaunay三角剖分的定义，必须符合两个重要的准则：

空圆特性：Delaunay三角网是唯一的（任意四点不能共圆），在Delaunay三角形网中任一三角形的外接圆范围内不会有其它点存在。如下图所示：
最大化最小角特性：在散点集可能形成的三角剖分中，Delaunay三角剖分所形成的三角形的最小角最大。从这个意义上讲，Delaunay三角网是“最接近于规则化的“的三角网。具体的说是指在两个相邻的三角形构成凸四边形的对角线，在相互交换后，六个内角的最小角不再增大。如下图所示：

1.4.Delaunay三角剖分的特性

以下是Delaunay剖分所具备的优异特性：

最接近：以最近临的三点形成三角形，且各线段(三角形的边)皆不相交。
唯一性：不论从区域何处开始构建，最终都将得到一致的结果。
最优性：任意两个相邻三角形形成的凸四边形的对角线如果可以互换的话，那么两个三角形六个内角中最小的角度不会变大。
最规则：如果将三角网中的每个三角形的最小角进行升序排列，则Delaunay三角网的排列得到的数值最大。
区域性：新增、删除、移动某一个顶点时只会影响临近的三角形。
具有凸多边形的外壳：三角网最外层的边界形成一个凸多边形的外壳。

1.5.局部最优化处理

理论上为了构造Delaunay三角网，Lawson提出的局部优化过程LOP(Local Optimization Procedure)，一般三角网经过LOP处理，即可确保成为Delaunay三角网，其基本做法如下所示：

将两个具有共同边的三角形合成一个多边形。
以最大空圆准则作检查，看其第四个顶点是否在三角形的外接圆之内。
如果在，修正对角线即将对角线对调，即完成局部优化过程的处理。
LOP处理过程如下图所示：

2.Delaunay剖分的算法

Delaunay剖分是一种三角剖分的标准，实现它有多种算法。

2.1.Lawson算法

逐点插入的Lawson算法是Lawson在1977年提出的，该算法思路简单，易于编程实现。基本原理为：首先建立一个大的三角形或多边形，把所有数据点包围起来，向其中插入一点，该点与包含它的三角形三个顶点相连，形成三个新的三角形，然后逐个对它们进行空外接圆检测，同时用Lawson设计的局部优化过程LOP进行优化，即通过交换对角线的方法来保证所形成的三角网为Delaunay三角网。
上述基于散点的构网算法理论严密、唯一性好，网格满足空圆特性，较为理想。由其逐点插入的构网过程可知，遇到非Delaunay边时，通过删除调整，可以构造形成新的Delaunay边。在完成构网后，增加新点时，无需对所有的点进行重新构网，只需对新点的影响三角形范围进行局部联网，且局部联网的方法简单易行。同样，点的删除、移动也可快速动态地进行。但在实际应用当中，这种构网算法当点集较大时构网速度也较慢，如果点集范围是非凸区域或者存在内环，则会产生非法三角形。

2.2.Bowyer-Watson算法

Lawson算法的基本步骤是：
1. 构造一个超级三角形，包含所有散点，放入三角形链表。
2. 将点集中的散点依次插入，在三角形链表中找出其外接圆包含插入点的三角形（称为该点的影响三角形），删除影响三角形的公共边，将插入点同影响三角形的全部顶点连接起来，从而完成一个点在Delaunay三角形链表中的插入。
3. 根据优化准则对局部新形成的三角形进行优化。将形成的三角形放入Delaunay三角形链表。
4. 循环执行上述第2步，直到所有散点插入完毕。
这一算法的关键的第2步图示如下：

Ref:
[图形算法]Delaunay三角剖分算法
https://zhuanlan.zhihu.com/p/42331420

scipy API - scipy.spatial.Delaunay

python示例：

用 Python 实现 Delaunay Triangulation。
how-to-set-a-maximum-distance-of-a-delaunay-triangle-side 最大边长

#
# http://fangs.in/post/python/pythondelaunay/
#
from scipy.spatial import Delaunay
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# Triangle Settings
width = 100
height = 60
pointNumber = 500
np.random.seed(2020)
points = np.zeros((pointNumber, 2))
points[:, 0] = np.random.randint(0, width, pointNumber)
points[:, 1] = np.random.randint(0, height, pointNumber)# Use scipy.spatial.Delaunay for Triangulation
tri = Delaunay(points)# Plot Delaunay triangle with color filled
# 每个三角的中心点
center = np.sum(points[tri.simplices], axis=1)/3.0
# 1.设置color，使距离整个点集中心越近的，颜色越深
# color = np.array([(x - width/2)**2 + (y - height/2)**2 for x, y in center])
# 2.设置color，使点越密集的地方，颜色越深。
color_list = []
thresh_color = 12
for index, sim in enumerate(points[tri.simplices]):cx, cy = center[index][0], center[index][1]x1, y1 = sim[0][0], sim[0][1]x2, y2 = sim[1][0], sim[1][1]x3, y3 = sim[2][0], sim[2][1]# s是simplices的三个顶点到中心的距离的和s = ((x1-cx)**2+(y1-cy)**2)**0.5 + ((cx-x3)**2+(cy-y3)**2)**0.5 + ((cx-x2)**2+(cy-y2)**2)**0.5if s < thresh_color:color_list.append(s)else:color_list.append(thresh_color+1)
color = np.array(color_list)
print('color-mean', np.mean(color))# 三角形边长
side_list = []
thresh_len = 7.5
long_edges = set()
for tr in tri.simplices:for i in range(3):edge0 = tr[i]edge1 = tr[(i+1)%3]p0 = points[ edge0 ]p1 = points[ edge1 ]side = np.linalg.norm(p1 - p0) # 二范数求距离side_list.append(side)if side > thresh_len:long_edges.add((edge0, edge1))
len_sides = np.array(side_list)
print(np.min(len_sides), np.max(len_sides), np.mean(len_sides))# 画出三角
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.tripcolor(points[:, 0], points[:, 1], tri.simplices.copy(), facecolors=color, edgecolors='k')
# plt.scatter(points[:,0],points[:,1], color='r')
# 画出边长较大的三角的顶点
for a,b in long_edges:plt.scatter(points[[a,b], 0], points[[a,b], 1], color='b')# ======================================
ax = plt.gca()
ax.spines['right'].set_color('none')
# ax.spines['bottom'].set_color('none')
# ax.spines['left'].set_color('none')
ax.spines['top'].set_color('none')# Save picture
# plt.savefig('Delaunay1.png', transparent=True, dpi=600)
plt.show()

输出图片：