算法是用于解决特定问题的一系列的执行步骤。使用不同算法，解决同一个问题，效率可能相差非常大。为了对算法的好坏进行评价，我们引入 “算法复杂度” 的概念。

1、引例：斐波那契数列（Fibonacci sequence）

已知斐波那契数列： F ( 1 ) = 1 ， F ( 2 ) = 1 , F ( n ) = F ( n − 1 ) + F ( n − 2 ) （ n ≥ 3 ， n ∈ N ∗ ） F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 3，n ∈ N^*） F(1)=1，F(2)=1,F(n)=F(n−1)+F(n−2)（n≥3，n∈N∗），求它的通项公式 F ( n ) F(n) F(n)。

求解斐波那契数列的方法有很多种，这里只介绍两种：递归法和平推法。

package com.atangbiji;public class Main {public static void main(String[] args) {// 输出通项F(n)System.out.println(fib1(1));System.out.println(fib1(2));System.out.println(fib1(3));System.out.println(fib1(4));System.out.println(fib1(5));System.out.println(fib2(70));}/** 求斐波那契数列（Fibonacci sequence）* F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 3，n ∈ N*）的通项F(n).*//**  方法一：递归法*  最高支持 n = 92 ，否则超出 Long.MAX_VALUE* @param n * @return f(n) * */public static long fib1(int n) {if (n < 1 || n > 92)return 0;if (n < 3)return 1;return fib1(n - 1) + fib1(n - 2);}/**  方法二：平推法*  最高支持 n = 92 ，否则超出 Long.MAX_VALUE* @param n * @return f(n) * */public static long fib2(int n) {if (n < 1 || n > 92)return 0;//n:    1 2 3 4 5 ……//F(n): 1 1 2 3 5 ……long first = 1;long second = 1;for (int i = 3; i <= n; i++) {long sum = first + second;first = second;second = sum;}return second;}}

通过测试，我们可以发现：当n的取值较大时（如：n = 60），若采用递推法计算则会发现迟迟不出结果，若采用平推法计算则可以秒出结果。由此可见， 平推法的效率明显高于递推法。

2、如何评估算法的好坏？

正确性
可读性
健壮性：对不合理输入的反应能力和处理能力。
时间复杂度（time complexity）： 估算程序指令的执行次数（执行时间）。
空间复杂度（space complexity）： 估算所需占用的存储空间。

注： 一般情况下，我们主要考虑算法的时间复杂度。 （因为目前计算机的内存一般都比较大）

3、时间复杂度的估算

我们可以用程序指令的执行次数来估算时间复杂度。例如：

（1）函数test1

public static void test1(int n) {//总执行次数 = 14// 1（判断语句可以忽略）if (n > 10) {System.out.println("n > 10");} else if (n > 5) {System.out.println("n > 5");} else {System.out.println("n <= 5");}// 1 + 4 + 4 + 4for (int i = 0; i < 4; i++) {System.out.println("test");}
}

（2）函数test2

public static void test2(int n) {//总执行次数 = 1 + 3n//1 + n + n + nfor (int i = 0; i < n; i++) {System.out.println("test");}
}

（3）函数test3

public static void test3(int n) {//总执行次数 = 48n + 1// 1 + 2n + n * (1 + 45)for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < 15; j++) { // 1 + 15 + 15 + 15System.out.println("test");}}
}

（4）函数test4

public static void test4(int n) {//总执行次数 = 3n^2 +3n +1// 1 + 2n + n * (1 + 3n)for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) { // 1 + n + n + nSystem.out.println("test");}}
}

（5）★ 函数test5

public static void test5(int n) {//总执行次数 = log2(n)/** n = 2 , 执行 1 次* n = 4 , 执行 2 次* n = 8 , 执行 3 次 * */while ((n = n/2) > 0) { // 倍速减小System.out.println("test"); // 只考虑这一句的执行次数}
}

（6）函数test6

public static void test6(int n) {//总执行次数 = log5(n)while ((n = n/5) > 0) {System.out.println("test"); // 只考虑这一句的执行次数}
}

（7）函数test7

public static void test7(int n) {//总执行次数 = 3n*log2(n) + 3log2(n) + 1// 1 + 2 * log2(n) + log2(n) * (1 + 3n)/** n = 2 , 执行 1 次* n = 4 , 执行 2 次* n = 8 , 执行 3 次 * */for (int i = 1; i < n; i += i) { // i = i + i = i * 2（倍速增大）for (int j = 0; j < n; j++) { // 1 + n + n + nSystem.out.println("test");}}
}

4、大O表示法

为了进一步简化复杂度的计算，我们一般使用大O表示法来描述时间（或空间）复杂度。它表示的是 数据规模为n 时算法所对应的复杂度。

大O表示法的性质：

（1）可以忽略常数、常系数和低阶项。

9 > > O （ 1 ） 9 >> O（1） 9>>O（1）
2 n + 3 > > O （ n ） 2n + 3 >> O（n） 2n+3>>O（n）
3 n 2 + 2 n + 6 > > O （ n 2 ） 3n^2 + 2n + 6 >> O（n^2） 3n2+2n+6>>O（n2）

（2）对数阶一般省略底数，统称 log ⁡ n \log n logn。

log ⁡ 2 n = log ⁡ 2 9 ∗ log ⁡ 9 n \log_2 n = \log_2 9*\log_9 n log2n=log29∗log9n

注： 大O表示法仅仅只是一种粗略的分析模型，是一种估算。 它能帮我们快速了解一个算法的执行效率。

5、常见的复杂度

其中：
O ( 1 ) < O ( log ⁡ n ) < O ( n ) < O ( n log ⁡ n ) < O ( n 2 ) < O ( n 3 ) < O ( 2 n ) < O ( n ! ) < O ( n n ) O(1)<O(\log n)<O(n)<O(n\log n)<O(n^2)<O(n^3)<O(2^n)<O(n!)<O(n^n) O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n2)<O(n3)<O(2n)<O(n!)<O(nn)

当数据规模较小时， 各复杂度对应的曲线如下图所示。
当数据规模较大时， 各复杂度对应的曲线如下图所示。

所以，当数据规模比较大时，复杂度为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 我们就很难接受了。

6、斐波那契数算法复杂度分析

（1）递归法

public static long fib1(int n) {if (n < 1 || n > 92)return 0;if (n < 3)return 1;return fib1(n - 1) + fib1(n - 2);
}

假设计算 f i b 1 ( n ) fib1(n) fib1(n)时 f i b 1 ( n − 1 ) fib1(n - 1) fib1(n−1)和 f i b 1 ( n − 2 ) fib1(n - 2) fib1(n−2)的值已经得到，我们可以发现该函数每次执行的时间主要取决于求和运算。因此，该算法函数指令的执行次数等价于该函数被递归调用次数。

当 n = 5 n=5 n=5时，该函数的调用过程如下图所示。

所以，该函数被递归调用的次数 = = = 二叉树的节点数。

即： 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 = 2 4 − 1 = 2 n − 1 − 1 = 0.5 ∗ 2 n − 1 2^0+2^1+2^2+2^3=2^4-1=2^{n-1}-1=0.5*2^n-1 20+21+22+23=24−1=2n−1−1=0.5∗2n−1。

因此，该算法的复杂度为 O ( 2 n ) O(2^n) O(2n)。

**注：**细心的同学可能会发现，当 n > 5 n > 5 n>5时，函数被递归调用的次数并不完全等于 0.5 ∗ 2 n − 1 0.5*2^n-1 0.5∗2n−1。

这里需要说明的是： 复杂度是一种估算，我们关心的不是具体的数值，而是量级和趋势。 所以， f i b 1 ( n ) fib1(n) fib1(n)呈指数级增长的趋势是毋庸置疑的。

（2）平推法

public static long fib2(int n) {if (n < 1 || n > 92)return 0;//n:    1 2 3 4 5 ……//F(n): 1 1 2 3 5 ……long first = 1;long second = 1;for (int i = 3; i <= n; i++) {long sum = first + second;first = second;second = sum;}return second;
}

显然，平推法的时间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n)。

7、算法的优化方向

（1）用尽量少的执行步骤（运行时间）。

（2）用尽量少的存储空间。

（3）根据情况，空间换时间或者时间换空间。

更多关于复杂度的知识，我们会在后续数据结构和算法的设计与实现过程中穿插讲解。

（本讲完，系列博文持续更新中…… ）

参考文献：
[1] 《恋上数据结构与算法》，小码哥MJ
[2] 《数据结构与算法》，邓俊辉

如何获取源代码？

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原文地址：http://www.atangbiji.com/2020/05/12/complexity/
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