四元数姿态解算算法基础

文章目录

姿态的表示方法
四元数表示姿态的物理意义
使用四元数进行载体姿态更新方程
- 四元数微分方程
- 四元数初始值确定

姿态的表示方法

载体姿态有多种表示方法，常见的三种：欧拉角，姿态矩阵，四元数。
欧拉角的物理意义比较直观，即航向角 ψ \psi ψ，俯仰角 θ \theta θ，横滚角 γ \gamma γ，分别是导航系到载体系的三个旋转角度。
姿态矩阵可以由欧拉角直接计算得到，即三个角度对应的转换矩阵依相乘。

注意的是导航系到载体系是按照航向角，俯仰角，横滚角的顺序变换的所以导航系到载体系变换时，三个矩阵相乘的顺序应该是 C ( γ ) ∗ ( θ ) ∗ C ( ψ ) C(\gamma)*(\theta)*C(\psi) C(γ)∗(θ)∗C(ψ).

四元数表示方法较为抽象，直接从四元数“很难”看出载体姿态（这个姿态是对人的想象来说的姿态，因为四元数和欧拉角本无本质区别，只是一种表示方法），那么他的物理意义是什么呢？

四元数表示姿态的物理意义

四元数表示姿态时有多个写法，其中一种表示方法如下：
q = c o s ( θ 2 ) + u n s i n ( θ 2 ) q=cos(\frac{\theta}{2})+u^nsin(\frac{\theta}{2}) q=cos(2θ)+unsin(2θ)

欧拉角表示姿态变换时，表征的是分别绕着 ( i , j , k ) (i,j,k) (i,j,k)三个坐标轴的三次旋转。根据欧拉定理，这三次旋转可以等效成绕着某轴一次旋转而成。这个某轴就是公式中的 u n = ( u 1 , u 2 , u 3 ) u^n=(u_1,u_2,u_3) un=(u1,u2,u3),旋转角度就是公式中的 θ \theta θ。
四元数通常写为 q = q 0 + q 1 + q 2 + q 3 q=q_0+q_1+q_2+q_3 q=q0+q1+q2+q3
那么用于姿态表示时,
q 0 = c o s ( θ 2 ) q_0=cos(\frac{\theta}{2}) q0=cos(2θ)
q i = u i ∗ s i n ( θ 2 ) , i = 1 , 2 , 3 q_i=u_i*sin(\frac{\theta}{2}),i=1,2,3 qi=ui∗sin(2θ),i=1,2,3

使用四元数进行载体姿态更新方程

q ( t + δ t ) = q ( t ) + d q d t × δ t q(t+\delta t) = q(t)+\frac{dq}{dt} \times \delta t q(t+δt)=q(t)+dtdq×δt
四元数的更新可通过上式完成。因此只要知道初始四元数（载体的初始姿态）和四元数的导数就可以完成任意时刻四元数的解算。
例如px4中姿态更新的代码如下

// Apply correction to state_q += _q.derivative(corr) * dt;

四元数微分方程

d q d t \frac{dq}{dt} dtdq 需要求解四元数微分方程，基本推导过程如下：

d q d t = − θ ˙ 2 s i n ( θ 2 ) + u n θ ˙ 2 c o s ( θ 2 ) + s i n ( θ 2 ) d u n d t \frac{dq}{dt}=-\frac{\dot{\theta}}{2}sin(\frac{\theta}{2})+u^n \frac{\dot{\theta}}{2}cos(\frac{\theta}{2})+sin(\frac{\theta}{2}) \frac{du^n}{dt} dtdq=−2θ˙sin(2θ)+un2θ˙cos(2θ)+sin(2θ)dtdun
其中， d u n d t = 0 \frac{du^n}{dt}=0 dtdun=0，因此：

d q d t = − θ ˙ 2 s i n ( θ 2 ) + u n θ ˙ 2 c o s ( θ 2 ) \frac{dq}{dt}=-\frac{\dot{\theta}}{2}sin(\frac{\theta}{2})+u^n \frac{\dot{\theta}}{2}cos(\frac{\theta}{2}) dtdq=−2θ˙sin(2θ)+un2θ˙cos(2θ)

= u n × u n θ ˙ 2 s i n ( θ 2 ) + u n θ ˙ 2 c o s ( θ 2 ) =u^n \times u^n \frac{\dot{\theta}}{2}sin(\frac{\theta}{2})+u^n \frac{\dot{\theta}}{2}cos(\frac{\theta}{2}) =un×un2θ˙sin(2θ)+un2θ˙cos(2θ)

= u n θ ˙ 2 × ( u n s i n ( θ 2 ) + c o s ( θ 2 ) ) =u^n \frac{\dot{\theta}}{2} \times (u^n sin(\frac{\theta}{2})+cos(\frac{\theta}{2}) ) =un2θ˙×(unsin(2θ)+cos(2θ))

= u n θ 2 × q = ω n b n × q 2 =u^n \frac{\theta}{2} \times q =\frac{\omega_{nb}^n \times q}{2} =un2θ×q=2ωnbn×q

结果中的角速度为导航系到机体系在导航系下的旋转角速度矢量，但是我们通过陀螺仪测得的是载体系下的角速度。因此还需要一部变换：

ω n b n = q × ω n b b × q ∗ \omega_{nb}^n=q \times \omega_{nb}^b \times q^* ωnbn=q×ωnbb×q∗
由此可得到，
d q d t = q × ω n b b 2 \frac{dq}{dt} =q \times \frac{\omega_{nb}^b}{2} dtdq=q×2ωnbb

我们得到了四元数导数和载体系角速度的数学关系，展开上式得 d q d t \frac{dq}{dt} dtdq：
[ 0 − ω x − ω y − ω z ω x 0 ω z − ω y ω y − ω z 0 ω x ω z ω y ω x 0 ] × [ q 0 q 1 q 2 q 3 ] \begin{bmatrix} 0 & -\omega_x & -\omega_y & -\omega_z \\ \omega_x & 0 & \omega_z & -\omega_y\\ \omega_y & -\omega_z & 0 & \omega_x\\ \omega_z & \omega_y & \omega_x & 0 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} q_0 \\ q_1 \\q_2\\q_3 \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡0ωxωyωz−ωx0−ωzωy−ωyωz0ωx−ωz−ωyωx0⎦⎥⎥⎤×⎣⎢⎢⎡q0q1q2q3⎦⎥⎥⎤
也可以写成，
[ q 0 − q 1 − q 2 − q 3 q 1 0 q 3 − q 2 q 2 − q 3 0 q 1 q 3 q 2 q 1 q 0 ] × [ q 0 q 1 q 2 q 3 ] \begin{bmatrix} q_0 & -q_1 & -q_2 & -q_3 \\ q_1 & 0 & q_3 & -q_2 \\ q_2 & -q_3 & 0 & q_1 \\ q_3 & q_2 & q_1 & q_0 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} q_0 \\ q_1 \\q_2\\q_3 \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡q0q1q2q3−q10−q3q2−q2q30q1−q3−q2q1q0⎦⎥⎥⎤×⎣⎢⎢⎡q0q1q2q3⎦⎥⎥⎤

四元数初始值确定

px4 中的初始四元数计算。

bool AttitudeEstimatorQ::init()

四元数初始值的确实可以看做是一个初始对准的过程。
而上述模型仅仅是理想状态下的数学模型，实际角速度中必然包含零偏、噪声等误差，更新过程中又不可避免的有飘漂移发生。所以仅用上式是无法给出可以使用的姿态的。
实际使用中常常用kalman滤波或者补偿滤波的方法来“校正”这些误差。因此初始值可以不必那么精确。给出一个概略初始值即可。
例如可以通过加速度z轴方向和磁罗盘的输出向量，来完成对准。两者从物理概念上实际上分别完成了调平和指北的任务。