tarjan算法（强连通分量与割点）

tarjan算法可以求有向图的割点割边强连通分量（还有一些奇奇怪怪的操作）

我只会割点和强连通分量，割边（和缩点）以后可能会加，如果是来看割边的话，现在跑还来得及。。

（先来一张有向图叭）

用这张图，我们来解释一些东西：

设在有向图G中，GG为其子图，u,v分别是G中的节点。

强连通：如果u可以到达v，v也可以到达u，那么u,v强连通。（比如2可以到达9,9可以通过9—10—3—2到达2）

强连通图：若G内各点都强连通，就说G是强连通图。

强联通分量：若GG是强连通图，就说它是G的强连通分量。

割点：设割去点u，G断成了多个图，就说u是G的割点。（如1）

所有的tarjan算法都要用到两个数组：

dfn[]：节点的dfs序；

low[]：该节点所在强连通分量中最小的dfn值，可以理解为团队主。

tarjan如何求强连通分量

首先要维护一个栈，来记录我们找过了哪些点。

然后遍历u的儿子

设v是u的子节点。

如果v没有走过，那么先遍历v的儿子

若v的团队主比u的团队主更高级（low[v]<low[u]）显然，u要顺从v的团队主；

否则u不变。

如果v已经处理过了在栈里了

若v比u更高级（dfn[v]<low[u]），显然，u要顺从v；

否则u不变，坐等v加入团队。

这一部分的代码：

inline void tarjan(int x){dfn[x]=low[x]=++num;//dfs序 st[++top]=x;v[x]=true;//入栈，v[x]标记x在栈内 for(register int i=head[x];i;i=e[i].nxt){if(!dfn[e[i].y]){tarjan(e[i].y);low[x]=min(low[x],low[e[i].y]);}else if(v[e[i].y])low[x]=min(low[x],dfn[e[i].y]);}

当考虑完团队划分整合之后，我们如何确定有几个团队呢

如果dfn[x]==low[x]，显然，x就是某个团队的团队主

此时我们需要++cnt（cnt代表目前团队编号），然后将x之后的数全部弹出栈，压入事先准备好的vector中（怎么觉得有点像做菜）。因为在x之后的点都是从x出发遍历到的，这些点之中没有可以改变low[x]的，显然他们都归顺于x。

这一部分的代码：

if(dfn[x]==low[x]){cnt++;int y;do{y=st[top--];v[y]=false;scc[cnt].push_back(y);}while(x!=y);
}

讲完了算法，就可以愉快的来一道板子题了

牛的舞会

这个。。裸的掉牙了。

#include<iostream>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#define maxn 10005
#define maxm 50005
using namespace std;
int n,m,head[maxn],tot;
int dfn[maxn],low[maxn],num,st[maxn],ans,top,cnt;
bool v[maxn];
struct node{int y,nxt;
}e[maxm];
inline void ad(int x,int y){e[++tot].y=y;e[tot].nxt=head[x];head[x]=tot;
}
vector<int> scc[maxn];
inline void tarjan(int x){dfn[x]=low[x]=++num;//dfs序 st[++top]=x;v[x]=true;//入栈，v[x]标记x在栈内 for(register int i=head[x];i;i=e[i].nxt){if(!dfn[e[i].y]){tarjan(e[i].y);low[x]=min(low[x],low[e[i].y]);}else if(v[e[i].y])low[x]=min(low[x],dfn[e[i].y]);}if(dfn[x]==low[x]){cnt++;int y;do{y=st[top--];v[y]=false;scc[cnt].push_back(y);}while(x!=y);}
}
int main(){scanf("%d%d",&n,&m);int x,y;for(register int i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d",&x,&y);ad(x,y);}for(register int i=1;i<=n;i++){if(!dfn[i])tarjan(i);}for(register int i=1;i<=cnt;i++){if(scc[i].size()>1)++ans;}printf("%d",ans);
}

tarjan如何求割点

（呜哇总算写完前半部分啦）

如果一个点是根节点，有多个子树，它肯定是个割点。

如果一个点不是根节点，它存在一个子树，无法连接更高级的团队主，那么这个点就是割点。

（可以这样想，割掉以后那棵子树无法和其他点连接，必然会产生新的块）

板子题

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define maxn 100005
#define maxm 100005
using namespace std;
int n,m;
int head[maxn],tot,root;
int dfn[maxn],low[maxn],num,ans;
bool cut[maxn];struct node{int y,nxt;
}e[maxn<<1];inline void ad(int x,int y){e[++tot].y=y;e[tot].nxt=head[x];head[x]=tot;
}inline void tarjan(int x){dfn[x]=low[x]=++num;int flag=0;for(register int i=head[x];i;i=e[i].nxt){int y=e[i].y;if(!dfn[y]){tarjan(y);low[x]=min(low[x],low[y]);if(dfn[x]<=low[y]){flag++;if(x!=root||flag>1)cut[x]=true; }}else{low[x]=min(low[x],dfn[y]);}}
}
int main(){scanf("%d%d",&n,&m);int x,y;for(register int i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d",&x,&y);ad(x,y);ad(y,x);}for(register int i=1;i<=n;i++){if(!dfn[i])root=i,tarjan(i);}for(register int i=1;i<=n;i++)if(cut[i])++ans;printf("%d\n",ans);for(register int i=1;i<=n;i++){if(cut[i])printf("%d ",i);}return 0;
}

终于写完了qwq

flag插地：这周学会割边和缩点！

谢谢你可以看到这里呀

希望对你有所帮助

有写的不好或者不对的地方要及时指出来哦qwq