函数列与函数项级数——（一）一致收敛性

一.函数列及其一致收敛性

设 $f_1,f_2,...,f_n,...(1)$ 是一列定义在同一数集E上的函数，称为定义在E上的函数列，（1）也可简单地写作 $\{f_n\}$ 或 $f_n,n=1,2,...$

函数列的极限函数记作f，则有 $\lim_{n\to \infty }f_n(x)=f(x),x\in D$ 或 $f_n(x)\to f(x)(n\to \infty),x\in D.$

函数列极限的 $\varepsilon -N$ 定义： $\forall \varepsilon >0,\exists N=N(\varepsilon ,x),$ 当n>N时，有 $\left | f_n(x)-f(x) \right |<\varepsilon .$

使函数列 $\{f_n\}$ 收敛的全体收敛点集合，称为函数列 $\{f_n\}$ 的收敛域。

定义1

设函数列 $\{f_n\}$ 与函数f定义在同一数集D上， $\forall \varepsilon >0,\exists N(\varepsilon )>0,\forall x\in D,$ 当n>N时，有 $\left | f_n(x)-f(x) \right |<\varepsilon .$ 则称函数列 $\{f_n\}$ 在D上一致收敛于f，记作 $f_n(x)\overset {\rightarrow}\rightarrow f(x)(n\to \infty),x\in D.$

函数列 $\{f_n\}$ 在D上一致收敛，必在D上每一点都收敛；反之，在D上每一点都收敛的函数列 $\{f_n\}$ ，在D上不一定一致收敛。

不一致收敛于f的充要条件： $\exists \varepsilon _0>0,\forall N>0,\exists n'>N,\exists x'\in D,$ 有 $\left | f_{n'}(x')-f(x') \right |\geqslant \varepsilon _0.$

定理1（函数列一致收敛的柯西准则）

函数列 $\{f_n\}$ 在数集D上一致收敛的充要条件是： $\forall \varepsilon >0,\exists N>0,$ 使得当n,m>N时，对一切 $x\in D,$ 都有 $\left | f_n(x)-f_m(x) \right |<\varepsilon .$

定理2（余项准则）

函数列 $\{f_n\}$ 在区间D上一致收敛于f的充要条件是： $\lim_{n\to \infty}\sup_{x\in D}\left | f_n(x)-f(x) \right |=0.$

推论：函数列 $\{f_n\}$ 在D上不一致收敛于f的充要条件是：存在 $\{x_n\}\subset D,$ 使得 $\left |f_n(x_n)-f(x_n) \right |$ 不收敛于0.

定义2

设函数列 $\{f_n\}$ 与f定义在区间I上，若对任意闭区间 $[a,b]\subset I,$ $\{f_n\}$ 在[a,b]上一致收敛于f，则称 $\{f_n\}$ 在I上内闭一致收敛于f.

注：若 $I=[\alpha ,\beta ]$ 是有界闭区间，显然 $\{f_n\}$ 在I上内闭一致收敛于f与 $\{f_n\}$ 在I上一致收敛于f是一致的.

二.函数项级数及其一致收敛性

设 $\{u_n(x)\}$ 是定义在数集E上的一个函数列，表达式 $u_1(x)+u_2(x)+...+u_n(x)+...,x\in E(2)$ 称为定义在E上的函数项级数，简记为 $\sum _{n=1}^{\infty}u_n(x)$ 或 $\sum u_n(x).$ 称 $S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}u_k(x),x\in E,n=1,2,...$ 为函数项级数（2）的部分和函数列。

函数项级数的和函数，并写作 $u_1(x)+u_2(x)+...+u_n(x)+...=S(x),x\in D,$ 即 $\lim_{n\to \infty}S_n(x)=S(x),x\in D.$

定义3

设 $\{S_n(x)\}$ 是函数项级数 $\sum u_n(x)$ 的部分和函数列。若 $\{S_n(x)\}$ 在数集D上一致收敛于 $S(x).$ 则称 $\sum u_n(x)$ 在D上一致收敛于 $S(x).$ 若 $\sum u_n(x)$ 在任意闭区间 $[a,b]\subset I$ 上一致收敛，则称 $\sum u_n(x)$ 在I上内闭一致收敛。

定理3（一致收敛的柯西准则）

函数项级数 $\sum u_n(x)$ 在数集D上一致收敛的充要条件为：对任给的正数 $\varepsilon$ ，总存在正数N，使得当n>N时，对一切 $x\in D$ 和一切正整数p，都有 $\left | S_{n+p}(x)-S_n(x) \right |<\varepsilon$ 或 $\left | u_{n+1}(x)+u_{n+2}(x)+...+u_{n+p}(x) \right |<\varepsilon .$

推论：函数项级数 $\sum u_n(x)$ 在数集D上一致收敛的必要条件时函数列 $\{u_n(x)\}$ 在D上一致收敛于0.

设函数项级数 $\sum u_n(x)$ 在D上的和函数为 $S(x),$ 称 $R_n(x)=S(x)-S_n(x)$ 为函数项级数 $\sum u_n(x)$ 的余项。

定理4（余项准则）

函数项级数 $\sum u_n(x)$ 在数集D上一致收敛于 $S(x)$ 的充要条件是 $\lim_{n\to \infty}sup_{x\in D}\left | R_n(x) \right |=\lim_{n\to \infty}sup_{x\in D}\left | S(x)-S_n(x) \right |=0.$

三.函数项级数的一致收敛性判别法

定理5（魏尔斯特拉斯判别法）

设函数项级数 $\sum u_n(x)$ 定义在数集D上， $\sum M_n$ 为收敛的正项级数，若对一切 $x\in D$ 有 $\left | u_n(x) \right |\leqslant M_n,n=1,2,...,$ 则函数项级数 $\sum u_n(x)$ 在D上一致收敛。

也称为M判别法或优级数判别法， $\sum M_n$ 为 $\sum u_n(x)$ 的优级数。

下面讨论定义在区间I上形如 $\sum u_n(x)v_n(x)=u_1(x)v_1(x)+u_2(x)v_2(x)+...+u_n(x)v_n(x)+...(3)$

定理6（阿贝尔判别法）设

（i） $\sum u_n(x)$ 在区间I上一致收敛；

（ii）对于每一个 $x\in I,\{v_n(x)\}$ 是单调的；

（iii） $\{v_n(x)\}$ 在I上一致有界，即存在正数M，使得对一切 $x\in I$ 和正整数n，有 $\left | v_n(x) \right |\leqslant m,$

则级数（3）在I上一致收敛。

定理7（狄利克雷判别法）设

（i） $\sum u_n(x)$ 的部分和函数列 $U_n(x)=\sum_{k=1}^{n}u_k(x)(n=1,2,...)$ 在I上一致收敛；

（ii）对于每一个 $x\in I,\{v_n(x)\}$ 是单调的；

（iii）在I上 $v_n(x)\overset {\rightarrow}\rightarrow 0(n\to \infty),$

则级数（3）在I上一致收敛。