【概率与统计】聊聊一些常见的概率分布

笔者：YY同学Serendipity

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离散概率分布
- 离散均匀分布（Discrete Uniform Distribution）
- 伯努利分布（Bernoulli Distribution）
- 二项式分布（Binomial Distribution）
- 超几何分布（Hypergeometric Distribution）
- 几何分布（Geometric Distribution）
- 负二项分布（Negative Binomial Distribution）
- 泊松分布（Poisson Distribution）
连续概率分布
- 均匀分布（Uniform Distribution）
- 指数分布（Exponential Distribution）
- 威布尔分布（Weibull Distribution）
- 高斯分布（Gaussian Distribution）
- 柏拉图分布（Pareto Distribution）
- Beta 分布（Beta Distribution）
- Gamma 分布（Gamma Distribution）

离散概率分布

离散均匀分布（Discrete Uniform Distribution）

概率质量函数（PMF）：
P ( X = x ) = f ( x ) = { 1 b − a a ≤ X ≤ b 0 o t h e r w i s e P(X=x)=f(x)=\left\{ \begin{aligned} \frac{1}{b-a} & & a \le X \le b\\ 0 & & otherwise \end{aligned} \right. P(X=x)=f(x)=⎩ ⎨ ⎧b−a10a≤X≤botherwise

期望（Expectation）：
E ( X ) = a + b 2 E(X)=\frac{a+b}{2} E(X)=2a+b

方差（Variance）：
V a r ( X ) = ( b − a + 1 ) 2 − 1 12 Var(X)=\frac{(b-a+1)^2-1}{12} Var(X)=12(b−a+1)2−1

栗子：随机抽签 N N N 次后中奖（ X X X）的概率。

伯努利分布（Bernoulli Distribution）

概率质量函数（PMF）：
P ( X = x ) = f ( x ) = p x ( 1 − p ) 1 − x { p X = 1 1 − p X = 0 P(X=x)=f(x)=p^{x}(1-p)^{1-x}\left\{ \begin{aligned} p & & X=1\\ 1-p & & X=0 \end{aligned} \right. P(X=x)=f(x)=px(1−p)1−x{p1−pX=1X=0

期望（Expectation）：
E ( X ) = ∑ i = 0 1 X i P ( X ) = p E(X)=\sum_{i=0}^{1} X_{i}P(X)=p E(X)=i=0∑1XiP(X)=p

方差（Variance）：
V a r ( X ) = ∑ i = 0 1 ( X i − E ( X ) ) 2 P ( X ) = p ( 1 − p ) Var(X)=\sum_{i=0}^{1} (X_{i}-E(X))^2P(X)=p(1-p) Var(X)=i=0∑1(Xi−E(X))2P(X)=p(1−p)

栗子：发射一枚导弹是否击落敌机（ X X X）的概率。伯努利分布又名 01 分布 / 两点分布，是二项式分布的 n = 1 n=1 n=1 的特殊情况。

二项式分布（Binomial Distribution）

概率质量函数（PMF）：
P ( X = x ) = f ( x , n , p ) = C n x p x ( 1 − p ) n − x P(X=x)=f(x,n,p)=C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x} P(X=x)=f(x,n,p)=Cnxpx(1−p)n−x

期望（Expectation）：
E ( X ) = ∑ i = 1 n X i P ( X ) = n p E(X)=\sum_{i=1}^{n} X_{i}P(X)=np E(X)=i=1∑nXiP(X)=np

方差（Variance）：
V a r ( X ) = ∑ i = 1 n ( X i − E ( X ) ) 2 P ( X ) = n p ( 1 − p ) Var(X)=\sum_{i=1}^{n} (X_{i}-E(X))^2P(X)=np(1-p) Var(X)=i=1∑n(Xi−E(X))2P(X)=np(1−p)

栗子：一批产品进行 n n n 次检验后合格的数量（ X X X）的概率。

超几何分布（Hypergeometric Distribution）

概率质量函数（PMF）：
P ( X = x ) = f ( x ) = C D x C N − D n − x C N n P(X=x)=f(x)=\frac{C_{D}^{x}C_{N-D}^{n-x}}{C_{N}^{n}} P(X=x)=f(x)=CNnCDxCN−Dn−x

期望（Expectation）：
E ( X ) = n p E(X)=np E(X)=np

方差（Variance）：
V a r ( X ) = n p ( 1 − p ) N − n N − 1 Var(X)=np(1-p)\frac{N-n}{N-1} Var(X)=np(1−p)N−1N−n

栗子：一批产品有 N N N 个，其中 D D D 个不合格，从 N N N 个中任取 n n n 个，不合格产品数量（ X X X）的概率。

几何分布（Geometric Distribution）

概率质量函数（PMF）：
P ( X = x ) = f ( x ) = ( 1 − p ) x p P(X=x)=f(x)=(1-p)^{x}p P(X=x)=f(x)=(1−p)xp

期望（Expectation）：
E ( X ) = 1 p E(X)=\frac{1}{p} E(X)=p1

方差（Variance）：
V a r ( X ) = 1 − p p 2 Var(X)=\frac{1-p}{p^2} Var(X)=p21−p

栗子：已知射击比赛选手单次射中目标的概率，求他首次射中目标所需的射击次数（ X X X）的概率。

负二项分布（Negative Binomial Distribution）

概率质量函数（PMF）：
P ( X = x ) = f ( x , r ) = C x − 1 r − 1 p r − 1 ( 1 − p ) x − r p = C x − 1 r − 1 p r ( 1 − p ) x − r , x ≥ r P(X=x)=f(x,r)=C_{x-1}^{r-1}p^{r-1}(1-p)^{x-r}p=C_{x-1}^{r-1}p^{r}(1-p)^{x-r}, x \ge r P(X=x)=f(x,r)=Cx−1r−1pr−1(1−p)x−rp=Cx−1r−1pr(1−p)x−r,x≥r

期望（Expectation）：
E ( X ) = r p E(X)=\frac{r}{p} E(X)=pr

方差（Variance）：
V a r ( X ) = r 1 − p p 2 Var(X)=r\frac{1-p}{p^2} Var(X)=rp21−p

栗子：某射手连续射击一个目标，射中 r r r 次后停止，若已知单次射中的概率，求射击次数（ X X X）的概率。当 r = 1 r=1 r=1 时，即为几何分布。

泊松分布（Poisson Distribution）

概率质量函数（PMF）：
P ( X = x ) = f ( x ) = 1 x ! λ x e − λ , x ∈ N ∗ P(X=x)=f(x)=\frac{1}{x!}\lambda^{x}e^{-\lambda}, x \in N^{*} P(X=x)=f(x)=x!1λxe−λ,x∈N∗

期望（Expectation）：
E ( X ) = λ E(X)=\lambda E(X)=λ

方差（Variance）：
V a r ( X ) = λ Var(X)=\lambda Var(X)=λ

栗子：在一条马路上，已知 30 分钟内看见汽车驶过的概率，求 10 分钟内看见汽车驶过（ X X X）的概率。

连续概率分布

均匀分布（Uniform Distribution）

概率密度函数（PDF）：
p ( x ) = { 1 b − a a ≤ x ≤ b 0 o t h e r w i s e p(x)=\left\{ \begin{aligned} \frac{1}{b-a} & & a \le x \le b \\ 0 & & otherwise \end{aligned} \right. p(x)=⎩ ⎨ ⎧b−a10a≤x≤botherwise

期望（Expectation）：
E ( X ) = a + b 2 E(X)=\frac{a+b}{2} E(X)=2a+b

方差（Variance）：
V a r ( X ) = ( b − a ) 2 12 Var(X)=\frac{(b-a)^2}{12} Var(X)=12(b−a)2

栗子：

指数分布（Exponential Distribution）

概率密度函数（PDF）：
p ( x ) = { λ e − λ x x > 0 0 x ≤ 0 p(x)=\left\{ \begin{aligned} \lambda e^{-\lambda x} & & x \gt 0 \\ 0 & & x \le 0 \end{aligned} \right. p(x)={λe−λx0x>0x≤0

期望（Expectation）：
E ( X ) = 1 λ E(X)=\frac{1}{\lambda} E(X)=λ1

方差（Variance）：
V a r ( X ) = 1 λ 2 Var(X)=\frac{1}{\lambda ^2} Var(X)=λ21

栗子：若电子产品的使用寿命服从指数分布，求该产品在第 X X X 年报废的概率。

威布尔分布（Weibull Distribution）

概率密度函数（PDF）：
p ( x , λ , k ) = { λ k x k − 1 e − λ k x x > 0 0 x ≤ 0 p(x, \lambda, k)=\left\{ \begin{aligned} \lambda^{k}x^{k-1} e^{-\lambda^{k}x} & & x \gt 0 \\ 0 & & x \le 0 \end{aligned} \right. p(x,λ,k)={λkxk−1e−λkx0x>0x≤0

期望（Expectation）：
E ( X ) = 1 λ Γ ( 1 + 1 k ) E(X)=\frac{1}{\lambda}\Gamma(1+\frac{1}{k}) E(X)=λ1Γ(1+k1)

方差（Variance）：
V a r ( X ) = 1 λ 2 Γ ( 1 + 2 k ) − ( E ( X ) ) 2 Var(X)=\frac{1}{\lambda ^2}\Gamma(1+\frac{2}{k}) - (E(X))^2 Var(X)=λ21Γ(1+k2)−(E(X))2

栗子：轴承的使用寿命服从威布尔分布，指数分布为威布尔分布 k = 1 k=1 k=1 时的特殊情况。

高斯分布（Gaussian Distribution）

概率密度函数（PDF）：
p ( x ) = 1 2 π σ e − 1 2 σ 2 ( x − μ ) 2 p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma}}e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2} p(x)=2πσ 1e−2σ21(x−μ)2

期望（Expectation）：
E ( X ) = μ E(X)=\mu E(X)=μ

方差（Variance）：
V a r ( X ) = σ 2 Var(X)=\sigma^2 Var(X)=σ2

栗子：高斯分布又称正态分布，世界上很大一部分事件的概率都服从高斯分布，其中 μ = 0 \mu=0 μ=0， σ 2 = 1 \sigma^2=1 σ2=1 的分布又称标准正态分布。

柏拉图分布（Pareto Distribution）

概率密度函数（PDF）：
p ( x ) = { ( a − 1 ) x 0 a − 1 x − a x ≥ x 0 0 x < x 0 p(x)=\left\{ \begin{aligned} (a-1)x_0^{a-1}x^{-a} & & x \ge x_0\\ 0 & & x \lt x_0 \end{aligned} \right. p(x)={(a−1)x0a−1x−a0x≥x0x<x0

期望（Expectation）：
E ( X ) = ( a − 1 ) x 0 a − 2 , a > 2 E(X)=\frac{(a-1)x_0}{a-2}, a \gt 2 E(X)=a−2(a−1)x0,a>2

方差（Variance）：
V a r ( X ) = ( a − 1 ) x 0 2 ( a − 2 ) 2 ( a − 3 ) , a > 3 Var(X)=\frac{(a-1)x_0^2}{(a-2)^2(a-3)}, a \gt 3 Var(X)=(a−2)2(a−3)(a−1)x02,a>3

栗子：家庭年收入服从柏拉图分布，其中 x 0 > 0 x_0>0 x0>0， a > 1 a>1 a>1 的分布又称标准正态分布。

Beta 分布（Beta Distribution）

概率密度函数（PDF）：
p ( x ) = { 1 B ( α , β ) x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 0 ≤ x ≤ 1 0 o t h e r w i s e p(x)=\left\{ \begin{aligned} \frac{1}{B(\alpha, \beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} & & 0 \le x \le 1\\ 0 & & otherwise \end{aligned} \right. p(x)=⎩ ⎨ ⎧B(α,β)1xα−1(1−x)β−100≤x≤1otherwise
B ( α , β ) = ∫ 0 1 x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 d x B(\alpha, \beta)=\int_0^1x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}dx B(α,β)=∫01xα−1(1−x)β−1dx

期望（Expectation）：
E ( X ) = α α + β E(X)=\frac{\alpha}{\alpha+\beta} E(X)=α+βα

方差（Variance）：
V a r ( X ) = α β ( α + β ) 2 ( α + β + 1 ) Var(X)=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)} Var(X)=(α+β)2(α+β+1)αβ

栗子：与二项式分布、 Gamma 分布有密切联系。

Gamma 分布（Gamma Distribution）

概率密度函数（PDF）：
p ( x ) = { β α Γ ( α ) x α − 1 e − β x x > 0 0 x ≤ 0 p(x)=\left\{ \begin{aligned} \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x} & & x \gt 0\\ 0 & & x \le 0 \end{aligned} \right. p(x)=⎩ ⎨ ⎧Γ(α)βαxα−1e−βx0x>0x≤0
Γ ( α ) = ∫ 0 + inf ⁡ u α − 1 e − u d u \Gamma(\alpha)=\int_0^{+\inf}u^{\alpha-1}e^{-u}du Γ(α)=∫0+infuα−1e−udu

期望（Expectation）：
E ( X ) = α β E(X)=\frac{\alpha}{\beta} E(X)=βα

方差（Variance）：
V a r ( X ) = α β 2 Var(X)=\frac{\alpha}{\beta^2} Var(X)=β2α

栗子：常见于水文研究，与指数分布、高斯分布有密切联系。

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