矩阵二范数化的向量化方法

2024-05-07 08:23:57

计算矩阵二范数化的向量化方法

设矩阵 X=[x1,x2,⋯,xn]∈RmX=\left[x_1, x_2, \cdots, x_n \right] \in \mathbb{R}^{m}X=[x1,x2,⋯,xn]∈Rm，对其2-范数化，即

其中

那么，Σ\SigmaΣ 可以用伪代码 Σ=diag([sqrt(diag(xTx))]−1)\Sigma=diag(\left[sqrt(diag(x^{T}x))\right]^{-1})Σ=diag([sqrt(diag(xTx))]−1) 来实现。

clear
clc% (1). Loop method
x = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9; 10, 11, 12];
[m, n] = size(x);
xBar = zeros(m, n);
for jj = 1 : nxBar(:, jj) = x(:, jj) / norm(x(:, jj), 2);
end% (2). Vectorization method
xBar = x * diag(1 ./ sqrt(diag(x'*x)));

Output result:

>> xBar =0.0776    0.1367    0.18260.3105    0.3418    0.36510.5433    0.5469    0.54770.7762    0.7519    0.7303

计算矩阵各列之间的欧式距离向量化方法

设矩阵 X=[x1,x2,⋯,xn]∈RmX=\left[x_1, x_2, \cdots, x_n \right] \in \mathbb{R}^{m}X=[x1,x2,⋯,xn]∈Rm，计算 dij=∥xi−xj∥2,i,j=1,2,⋯,nd_{ij}=\Vert x_i - x_j \Vert_2, i, j=1, 2, \cdots, ndij=∥xi−xj∥2,i,j=1,2,⋯,n.

直接计算：

写成矩阵形式：

$$
如果令：

则最终结果可表示成：dx+dxT−2xTx\sqrt{dx+dx^{T}-2x^{T}x}dx+dxT−2xTx.

Matlab代码实现

clear
clc% (1). Loop method
x = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9; 10, 11, 12];
nDim = size(x, 2);
k = zeros(nDim, nDim);
for ii = 1 : nDimxi = x(:, ii);for jj = 1 : nDimxj = x(:, jj);k(ii, jj) = sqrt((xi - xj).' * (xi-xj));   end  % end for
end  % end for% (2). Vectorization method
x2 = x' * x;
dx = diag(x2) * ones(size(diag(x2)))';
k = sqrt(dx + dx' - 2 * x2);

Output result:

>> k =0     2     42     0     24     2     0

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