例：一元三次方程 x^3-2x+1=0，给定误差精度和最大迭代次数，求解。

1. 牛顿迭代法

牛顿迭代法基本公式： $X_{1}=X_{0}-\frac{f\left ( x_{0} \right )}{f^{'}\left ( x_{0} \right )}$

其中， $X_{0}$ 是初始解（自定义）， $X_{1}$ 是经历一次迭代后的解。

经过多次迭代，缩小新值与旧值的误差，就可近似求解方程。

# 函数表达式x^3-2x+1
def fun(x):return x ** 3.0 - 2.0 * x + 1.0# 函数一阶导3x^2-2
def fun2(x):return 3.0 * x ** 2 - 2.0# 迭代，参数：初始值、最大迭代次数、最小误差
def get_root(x0, max_iter=50, tol=1e-7):# 初始值浮点化p0 = x0 * 1.0# 最大50次迭代循环for i in range(max_iter):# 函数的一阶导不能为0，最普遍的说法是不能非正定p = p0 - fun(p0) / fun2(p0)# print(p)# 如果小于误差精度值则退出迭代if abs(p - p0) < tol:return "经过{}次迭代，我们估计的参数值是{}".format(i + 1, p)# 赋值重新迭代p0 = pprint("无法迭代")if __name__ == '__main__':print(get_root(2))print(get_root(0))print(get_root(-2))# 输出结果
经过8次迭代，我们估计的参数值是1.0
经过6次迭代，我们估计的参数值是0.6180339887498949
经过5次迭代，我们估计的参数值是-1.618033988749895

2. 梯度下降迭代法

梯度下降迭代基本公式： $X_{1}=X_{0}-step*f\left ( x_{0} \right )$

其中， $X_{0}$ 是初始解（自定义）， $X_{1}$ 是经历一次迭代后的解，step 是步长。

经过多次迭代，不断向函数负梯度以步长为单位迭代，求极值。

缺点：靠近极小值时收敛速度变慢，直线搜索时可能产生错误。

# raw_f一阶导0.25x^4-x^2+x
def fun(x):return 0.25 * x ** 4 - x ** 2 + x# 原方程x^3-2x+1
def fun1(x):return x ** 3.0 - 2.0 * x + 1.0def get_root(x0, max_iter=500, tol=1e-10, step=0.1):# 初始值浮点化p0 = x0 * 1.0for i in range(max_iter):# 代入公式迭代p = p0 - step * fun1(p0)# 如果小于误差精度则退出迭代# 方程等于0，即raw_f在那点的导数为0，点左右极限等于该点值，由此计算精度if abs(fun(p0) - fun(p)) < tol:return "经过{}次迭代，我们估计的参数值是{}".format(i + 1, p)p0 = pprint("无法迭代")if __name__ == '__main__':print(get_root(2))print(get_root(0))print(get_root(-2))# 输出结果
'''此方法只求出了两个根，可能与步长有关'''
经过84次迭代，我们估计的参数值是1.0000274490963825
经过22次迭代，我们估计的参数值是-1.618031477687423
经过13次迭代，我们估计的参数值是-1.6180357828240552

3. 哈雷迭代法

# 方程
def fun(x):return x ** 3.0 - 2.0 * x + 1.0# 一阶导
def fun1(x):return 3.0 * x ** 2 - 2.0# 二阶导
def fun2(x):return 6.0 ** xdef get_root(x0, max_iter=50, tol=1e-5, step=1):# 初始值浮点化p0 = x0 * 1.0# 最大50次循环迭代for i in range(max_iter):# 函数的一阶导不能为0，最普遍的说法是不能非正定discr = fun1(p0) ** 2 - 2 * fun(p0) * fun2(p0)if discr < 0:p = p0 - step * fun(p0) / fun1(p0)else:if fun2(p0) >= 0:p = p0 - step * 2 * fun(p0) / (fun1(p0) + fun1(p0) * (discr ** 0.5))else:p = p0 - step * 2 * fun(p0) / (fun1(p0) - fun1(p0) * (discr ** 0.5))# 如果小于误差精度则退出迭代if abs(p - p0) < tol:return u'经过%s次的迭代，我们估计的参数值是%s' % (i + 1, p)# 重新赋值变量，进入下一轮迭代p0 = pprint("无法迭代")if __name__ == '__main__':print(get_root(2))print(get_root(0))print(get_root(-2))# 输出结果
经过7次的迭代，我们估计的参数值是1.0000000000000266
经过6次的迭代，我们估计的参数值是0.618034653711193
经过32次的迭代，我们估计的参数值是-1.6180558864129027

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