电路理论基础——孙立山、陈希有

第1章电路元件与电路基本定律

1.1 基本电路元件

电阻、电容、电感、独立源和受控源

1.2 Kirchhoff定律

（定理）KCL
∑ k = 1 n i k = 0 \sum_{k=1}^ni_k=0 k=1∑nik=0
其中， i k i_k ik为流入节点的电流

KCL可以推广到任意闭合边界，此时 i k i_k ik为流入边界的电流

（定理）KVL
∑ k = 1 n u k = 0 \sum_{k=1}^nu_k=0 k=1∑nuk=0
其中， u k u_k uk为沿某一回路各个元件的电压降

在广义KVL中， u k u_k uk为沿某一由节点构成的虚拟回路中各个节点间的电压降

第2章线性直流电路

2.1 电阻网络的等效

在等效的概念上，我们强调对外等效，对内毫无等效可言，等效过后的电路所计算的一切值只有等效之外的部分有实际意义。如在Thevenin或Norton等效电路中，等效电源与原电源在各项数值上一般不同。

1.电阻/电导的串联

R = R 1 + R 2 G = G 1 G 2 G 1 + G 2 R=R_1+R_2\\ G=\frac{G_1G_2}{G_1+G_2} R=R1+R2G=G1+G2G1G2

2.电导/电阻的并联

G = G 1 + G 2 R = R 1 R 2 R 1 + R 2 G=G_1+G_2\\ R=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2} G=G1+G2R=R1+R2R1R2

3.电阻的星形联结和三角联结

在各个电阻相同的情况下，变换公式为
R Y = R △ 2 3 R △ = R △ 3 R △ = 3 R Y 2 R Y = 3 R Y R_Y=\frac{R_{\triangle}^2}{3R_{\triangle}}=\frac {R_{\triangle}}3\\ R_{\triangle}=\frac{3R_Y^2}{R_Y}=3R_Y RY=3R△R△2=3R△R△=RY3RY2=3RY
复杂情况的公式为
R Y 1 = R △ 12 R △ 31 R △ 12 + R △ 23 + R △ 31 R Y 2 = R △ 12 R △ 23 R △ 12 + R △ 23 + R △ 31 R Y 3 = R △ 23 R △ 31 R △ 12 + R △ 23 + R △ 31 R_{Y1}=\frac{R_{\triangle12}R_{\triangle31}}{R_{\triangle12}+R_{\triangle23}+R_{\triangle31}}\\ R_{Y2}=\frac{R_{\triangle12}R_{\triangle23}}{R_{\triangle12}+R_{\triangle23}+R_{\triangle31}}\\ R_{Y3}=\frac{R_{\triangle23}R_{\triangle31}}{R_{\triangle12}+R_{\triangle23}+R_{\triangle31}} RY1=R△12+R△23+R△31R△12R△31RY2=R△12+R△23+R△31R△12R△23RY3=R△12+R△23+R△31R△23R△31

R △ 12 = R Y 1 R Y 2 + R Y 2 R Y 3 + R Y 3 R Y 1 R Y 3 R △ 23 = R Y 1 R Y 2 + R Y 2 R Y 3 + R Y 3 R Y 1 R Y 1 R △ 31 = R Y 1 R Y 2 + R Y 2 R Y 3 + R Y 3 R Y 1 R Y 2 R_{\triangle12}=\frac{R_{Y1}R_{Y2}+R_{Y2}R_{Y3}+R_{Y3}R_{Y1}}{R_{Y3}}\\ R_{\triangle23}=\frac{R_{Y1}R_{Y2}+R_{Y2}R_{Y3}+R_{Y3}R_{Y1}}{R_{Y1}}\\ R_{\triangle31}=\frac{R_{Y1}R_{Y2}+R_{Y2}R_{Y3}+R_{Y3}R_{Y1}}{R_{Y2}} R△12=RY3RY1RY2+RY2RY3+RY3RY1R△23=RY1RY1RY2+RY2RY3+RY3RY1R△31=RY2RY1RY2+RY2RY3+RY3RY1

2.2 含源支路的等效变换

常用的是Thevenin和Norton等效电路的变换
U S = R I S I S = G U S U_S=RI_S\\ I_S=GU_S\\ US=RISIS=GUS
变换过后，电阻或电导的值不变

另外两种是电压源与元件的并联和电流源与元件的串联，均可以将对应元件移除，但需要注意的是，同本章开始时的说法，等效电源与原电源在各项数值上一般不同

2.3 支路电流法

设给定的线性直流电路有b条支路、n个节点，则可以列出独立的n-1个KCL方程和b-(n-1)个KVL方程，共b个方程，可以得到b条支路的电流，证明过程由图论给出

2.4 回路电流法

回路电流是每个独立回路中的假想电流，在平面电路中由多少个网孔就有多少个独立回路

假设好回路电流后，在每个独立回路中列写KVL方程即可，经过整理，有如下形式
R 自 I 自 − R 互 I 互 = U S 升 R_自I_自-R_互I_互=U_{S升} R自I自−R互I互=US升

2.5 节点电压法

以任意一节点为参考点记电压为零，其他节点的电压即为与参考点的电压差，在每个节点处列写KCL方程即可，经过整理，有如下形式
G 自 U 自 − G 互 U 互 = I 流入 + U R G_自U_自-G_互U_互=I_{流入}+\frac UR G自U自−G互U互=I流入+RU
其中， U U U和 R R R是每条支路的正极指向该节点的电源和对应的电阻

第3章电路定理

3.1 置换定理

在任意电路中，若已知某一端口的电压和电流 U U U和 I I I，则可用 U S = U U_S=U US=U的电压源或 I S = I I_S=I IS=I的电流源来置换此端口

我们不考虑置换后电路有多解的情况

3.2 齐性定理和叠加定理

1.齐性定理

在只有一个激励 X X X作用的线性电路中，任意响应记为 Y Y Y
Y X = K \frac YX=K XY=K

2.叠加定理

在线性电路中，由几个独立电源共同作用产生的响应等于各个独立电源单独作用时产生响应的代数和
Y = ∑ i = 1 n K i X i Y=\sum_{i=1}^nK_iX_i Y=i=1∑nKiXi
需要注意的是，功率不可以用叠加定理来计算

3.3 等效电源定理

1. Thevenin定理

线性含源一端口网络的对外作用可以用一个电压源串联电阻等效替代。其中，电压源的源电压等于此一端口网络的开路电压，电阻等于此一端口网络各独立源置零后的等效电阻

2. Norton定理

线性含源一端口网络的对外作用可以用一个电流源并联电导等效替代。其中，电流源的源电流等于此一端口网络的短路电流，电导等于此一端口网络各独立源置零后的等效电导

除了用定义计算等效电路外，还可以外加激励，用电路分析法即可得到端口特性方程

有些电路只存在Thevenin或Norton等效电路中的一种

3.4 Tellegen定理

对于两个结构相同的集中参数电路 N N N和 N ~ \widetilde N N ，
∑ k = 1 n u k i ~ k = 0 ∑ k = 1 n u ~ k i k = 0 \sum_{k=1}^nu_k\tilde i_k=0\\ \sum_{k=1}^n\tilde u_ki_k=0 k=1∑nuki~k=0k=1∑nu~kik=0
Tellegen定理又被称为似功率守恒定律

3.5 互易定理

 仅含电阻的二端口网络，称之为互易二端口，详细定义参考章节：二端口网络

第一种形式：

输入端或输出端接同样的电压源，对应端的短路电流相等

第二种形式：

输入端或输出端接同样的电流源，对应端的开路电压相等

第三种形式：

输出端开路电压与输入端电压源之比等于输入端短路电流与输出端电压源之比
U U S = I I S \frac U{U_S}=\frac I{I_S} USU=ISI

需要注意的是，这每一种形式将激励置零后的电路都是相同的，方便记忆

第4章正弦电流电路

4.1 正弦电流

正弦电流一般用余弦函数来表示
i = I m cos ⁡ ( ω t + φ ) i=I_m\cos(\omega t+\varphi) i=Imcos(ωt+φ)
正弦量泛指所有随时间按正弦规律变化的电路变量

正弦电流的有效值定义为电流的方均根值
I = 1 T ∫ 0 T i 2 d t = I m 2 I=\sqrt{\frac1T\int_0^Ti^2\mathrm dt}=\frac{I_m}{\sqrt2} I=T1∫0Ti2dt =2 Im
正弦电压同样如此

下角标 m m m表示最大值，若没有此标记，则表示平均值

4.2 正弦量的相量表示法

对于任意正弦量
f ( t ) = A m cos ⁡ ( ω t + φ ) f(t)=A_m\cos(\omega t+\varphi) f(t)=Amcos(ωt+φ)
在角频率 ω \omega ω唯一的情况下可以找到唯一的相量与之对应
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \ang at position 14: \dot A_m=A_m\̲a̲n̲g̲\varphi
有如下运算规则
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \ang at position 30: …trightarrow A_m\̲a̲n̲g̲\varphi+B_m\ang…

4.3 RLC元件上电压与电流的相量关系

R → R L → j ω L C → 1 j ω C R\rightarrow R\\ L\rightarrow j\omega L\\ C\rightarrow\frac1{j\omega C} R→RL→jωLC→jωC1

或
G → G C → j ω C L → 1 j ω L G\rightarrow G\\ C\rightarrow j\omega C\\ L\rightarrow\frac1{j\omega L} G→GC→jωCL→jωL1

4.4 阻抗与导纳

1.阻抗

阻抗即是电阻加电抗
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \ang at position 12: Z=R+jX=|Z|\̲a̲n̲g̲\varphi

2.导纳

导纳即是电导加电纳
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \ang at position 12: Y=G+jB=|Y|\̲a̲n̲g̲\varphi

4.5 正弦电流电路的功率

1.瞬时功率

p = u i p=ui p=ui

2.平均功率

P = U I λ P=UI\lambda P=UIλ

其中 λ = cos ⁡ φ \lambda=\cos\varphi λ=cosφ称为功率因数， φ \varphi φ为电压超前电流的相位差

与无功功率相对，平均功率也成为有功功率

3.无功功率

Q = U I sin ⁡ λ Q=UI\sin\lambda Q=UIsinλ

4.视在功率

S = U I S=UI S=UI

满足 S = P 2 + Q 2 S=\sqrt{P^2+Q^2} S=P2+Q2

5.复功率

S ~ = P + j Q = U ˙ I ∗ \tilde S=P+jQ=\dot UI^* S~=P+jQ=U˙I∗

6.功率因数的提高

在电路中并联电容电感元件不会影响有功功率，只会影响无功功率，从而达到提高功率因数的目的

4.6 最大功率传输定理

给定一个含有内阻抗的正弦电源，电源相量为 U ˙ S \dot U_S U˙S，内阻抗 Z S = R S + j X S Z_S=R_S+jX_S ZS=RS+jXS

当负载阻抗 Z L = Z S ∗ Z_L=Z_S^* ZL=ZS∗时，负载获得最大平均功率，称为共轭匹配

若负载相角固定，只有阻抗模可以改变，则当 ∣ Z L ∣ = ∣ Z S ∣ |Z_L|=|Z_S| ∣ZL∣=∣ZS∣时，负载获得最大平均功率，称为模匹配

4.7 耦合电感

当几个线圈之间存在磁耦合时，便形成了多端口电感，本章只讨论二端口电感，习惯上称为互感

1.互感元件端口特性方程

在电压与电流参考方向相同、同名端进出方向相同的情况下，有磁链守恒
ψ 1 = L 1 i 1 + M i 2 ψ 2 = M i 1 + L 2 i 2 \psi_1=L_1i_1+Mi_2\\ \psi_2=Mi_1+L_2i_2 ψ1=L1i1+Mi2ψ2=Mi1+L2i2
由电感特性方程
u 1 = L 1 d i 1 d t + M d i 2 d t u 2 = M d i 1 d t + L 2 d i 2 d t u_1=L_1\frac{\mathrm di_1}{\mathrm dt}+M\frac{\mathrm di_2}{\mathrm dt}\\ u_2=M\frac{\mathrm di_1}{\mathrm dt}+L_2\frac{\mathrm di_2}{\mathrm dt} u1=L1dtdi1+Mdtdi2u2=Mdtdi1+L2dtdi2
在正弦电流电路中，用相量表示
U ˙ 1 = j ω L 1 I ˙ 1 + j ω M I ˙ 2 U ˙ 2 = j ω M I ˙ 1 + j ω L 2 I ˙ 2 \dot U_1=j\omega L_1\dot I_1+j\omega M\dot I_2\\ \dot U_2=j\omega M\dot I_1+j\omega L_2\dot I_2 U˙1=jωL1I˙1+jωMI˙2U˙2=jωMI˙1+jωL2I˙2
若上述条件任一条件不同，将相应的正号变换为负号即可

耦合系数
k = M L 1 L 2 k=\frac M{\sqrt{L_1L_2}} k=L1L2 M
可以证明， 0 ≤ k ≤ 1 0\le k\le1 0≤k≤1

2.互感元件的等效电路和去耦合等效

正串：
L e q = L 1 + L 2 + 2 M L_{eq}=L_1+L_2+2M Leq=L1+L2+2M
反串：
L e q = L 1 + L 2 − 2 M L_{eq}=L_1+L_2-2M Leq=L1+L2−2M
顺联：
L e q = M + ( L 1 − M ) / / ( L 2 − M ) = L 1 L 2 − M 2 L 1 + L 2 − 2 M L_{eq}=M+(L_1-M)//(L_2-M)=\frac{L_1L_2-M^2}{L_1+L_2-2M} Leq=M+(L1−M)//(L2−M)=L1+L2−2ML1L2−M2
反联：
L e q = − M + ( L 1 + M ) / / ( L 2 + M ) = L 1 L 1 − M 2 L 1 + L 2 + 2 M L_{eq}=-M+(L_1+M)//(L_2+M)=\frac{L_1L_1-M^2}{L_1+L_2+2M} Leq=−M+(L1+M)//(L2+M)=L1+L2+2ML1L1−M2
能量：
E = 1 2 L 1 i 1 2 + 1 2 L 2 i 2 2 ± M i 1 i 2 E=\frac12L_1i_1^2+\frac12L_2i_2^2\pm Mi_1i_2 E=21L1i12+21L2i22±Mi1i2
M M M前的符号取决于互感使磁场增强还是减弱

二次侧电阻向一次侧的等效
Z i = ( ω M ) 2 Z L + j ω L 2 Z_i=\frac{(\omega M)^2}{Z_L+j\omega L_2} Zi=ZL+jωL2(ωM)2
等效为一次侧电感与等效电阻的串联

4.8 理想变压器

理想变压器是实际电磁耦合元件的一种理想化模型

U n = U 1 n 1 + U 2 n 2 + . . . n I = − n 1 I 1 − n 2 I 2 − . . . \frac Un=\frac{U_1}{n_1}+\frac{U_2}{n_2}+...\\ nI=-n_1I_1-n_2I_2-... nU=n1U1+n2U2+...nI=−n1I1−n2I2−...
其中 n n n为变比或匝数比

阻抗等效公式
Z i = n 2 Z L Z_i=n^2Z_L Zi=n2ZL

第5章频率特性和谐振现象

5.1 网络函数和频率特性

将网络中的单一激励记为 X ˙ \dot X X˙，某一相应记为 Y ˙ \dot Y Y˙，则网络函数
H ( j ω ) = Y ˙ X ˙ H(j\omega)=\frac{\dot Y}{\dot X} H(jω)=X˙Y˙

H ( j ω ) H(j\omega) H(jω)也可写为KaTeX parse error: Undefined control sequence: \ang at position 13: |H(j\omega)|\̲a̲n̲g̲\theta(\omega)， ∣ H ( j ω ) ∣ |H(j\omega)| ∣H(jω)∣称为幅频特性， θ ( ω ) \theta(\omega) θ(ω)称为相频特性

通常将网络函数的模下降到最大值的 1 2 \frac1{\sqrt2} 2 1时的频率称为截止频率

5.2 串联谐振电路

在由电压源激励的 R L C RLC RLC串联电路中，若电感的感抗与电容的容抗相互抵消，则整条支路呈现电阻性，称这种情况为串联谐振
ω L = 1 ω C \omega L=\frac1{\omega C} ωL=ωC1
通过改变频率、电容或电感，均可实现串联谐振

谐振角频率
ω 0 = 1 L C \omega_0=\frac1{\sqrt{LC}} ω0=LC 1

谐振频率
f 0 = ω 0 2 π = 1 2 π L C f_0=\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac1{2\pi\sqrt{LC}} f0=2πω0=2πLC 1

特性阻抗
ρ = ω 0 L = 1 ω 0 C = L C \rho=\omega_0L=\frac1{\omega_0C}=\sqrt\frac LC ρ=ω0L=ω0C1=CL

品质因数
Q = ρ R Q=\frac\rho R Q=Rρ

用品质因数来表示电感电压和电容电压的有效值
U L = U C = Q U U_L=U_C=QU UL=UC=QU
故串联谐振又被称为电压谐振

5.3 RLC串联电路的频率特性

电感电压具有高通超前特性，电容电压具有低通滞后特性

电阻电压具有带通特性，通带
Δ ω = ω 0 Q \Delta\omega=\frac{\omega_0}Q Δω=Qω0

5.4 并联谐振电路

在由电流源激励的 G C L GCL GCL串联电路中，若电感的感纳与电容的容纳相互抵消，则整条支路呈现电导性，称这种情况为并联谐振
ω L = 1 ω C \omega L=\frac1{\omega C} ωL=ωC1
通过改变频率、电容或电感，均可实现串联谐振

谐振角频率
ω 0 = 1 L C \omega_0=\frac1{\sqrt{LC}} ω0=LC 1

谐振频率
f 0 = ω 0 2 π = 1 2 π L C f_0=\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac1{2\pi\sqrt{LC}} f0=2πω0=2πLC 1

特性导纳
1 ρ = ω 0 C = 1 ω 0 L = C L \frac1\rho=\omega_0C=\frac1{\omega_0L}=\sqrt\frac CL ρ1=ω0C=ω0L1=LC

品质因数
Q = 1 ρ G Q=\frac1{\rho G} Q=ρG1

用品质因数来表示电容电流和电感电流的有效值
I C = I L = Q U I_C=I_L=QU IC=IL=QU
故并联谐振又被称为电流谐振

在实际应用中，常以电感线圈和电容器构成并联谐振电路

电感线圈支路的等效导纳为
G i = R R 2 + ( ω L ) 2 − j ω L R 2 + ( ω L ) 2 G_i=\frac R{R^2+(\omega L)^2}-j\frac{\omega L}{R^2+(\omega L)^2} Gi=R2+(ωL)2R−jR2+(ωL)2ωL
谐振条件为
C = L R 2 + ( ω L ) 2 C=\frac L{R^2+(\omega L)^2} C=R2+(ωL)2L

谐振角频率
ω 0 = 1 L C − R 2 L 2 \omega_0=\sqrt{\frac1{LC}-\frac{R^2}{L^2}} ω0=LC1−L2R2
有时不能通过改变角频率 ω \omega ω达到谐振

谐振等效电阻
R 0 = L R C R_0=\frac L{RC} R0=RCL

第6章线性动态电路暂态过程的时域分析法

6.1 动态电路的暂态过程

电容元件和电感元件的电压与电流关系都是导数或积分关系，称为动态元件

动态电路换路之后，需要一段时间过渡，过渡过程中电路工作状态称为暂态

以RC电路为例，列KVL
R C d u C d t + u C = U S RC\frac{\mathrm du_C}{\mathrm dt}+u_C=U_S RCdtduC+uC=US
初始条件确定积分常数
u C ( 0 + ) = u u_C(0_+)=u uC(0+)=u
这种分析方法称为时域分析法，物理意义明确，但更加繁琐且无法求解高阶电路，复频域分析法有效解决了这些问题

6.2 电路量的初始值

1.电容电压 u C u_C uC和电感电流 i S i_S iS初始值的确认

电路换路瞬间，将电容视为短路，电感视为断路，若流过电容的电流和电感两端电压均为有限值，则
u C ( 0 + ) = u C ( 0 − ) i L ( 0 + ) = i L ( 0 − ) u_C(0_+)=u_C(0_-)\\ i_L(0_+)=i_L(0_-) uC(0+)=uC(0−)iL(0+)=iL(0−)
否则，利用KCL和KVL进行判断

2.除 u C ( 0 + ) u_C(0_+) uC(0+)、 i L ( 0 + ) i_L(0_+) iL(0+)之外各电压、电流初始值的确定

由 u C ( 0 + ) u_C(0_+) uC(0+)、 i L ( 0 + ) i_L(0_+) iL(0+)确定

6.3 一阶电路的零输入响应

可用一阶常微分方程描述的电路称为一阶电路

换路后无独立电源的电路中，仅由储能元件原始储能引起的响应称为零输入响应

1. RC电路的零输入响应

R C d u C d t + u C = 0 RC\frac{\mathrm du_C}{\mathrm dt}+u_C=0 RCdtduC+uC=0

特征根
p = − 1 R C p=-\frac1{RC} p=−RC1
时间常数
τ = R C \tau=RC τ=RC
得
u C = u C ( 0 + ) e − t τ i C = i C ( 0 + ) e − t τ u_C=u_C(0_+)\mathrm e^{-\frac t\tau}\\ i_C=i_C(0_+)\mathrm e^{-\frac t\tau} uC=uC(0+)e−τtiC=iC(0+)e−τt

2. RL电路得零输入响应

L d i L d t + R i L = 0 L\frac{\mathrm di_L}{\mathrm dt}+Ri_L=0 LdtdiL+RiL=0

特征根
p = − R L p=-\frac RL p=−LR
时间常数
τ = L R \tau=\frac LR τ=RL
得
i C = i C ( 0 + ) e − t τ u C = u C ( 0 + ) e − t τ i_C=i_C(0_+)\mathrm e^{-\frac t\tau}\\ u_C=u_C(0_+)\mathrm e^{-\frac t\tau} iC=iC(0+)e−τtuC=uC(0+)e−τt

6.4 阶跃函数和冲激函数

1.单位阶跃函数

ϵ ( t ) = { 0 , t < 0 1 , t > 0 \epsilon(t)= \begin{cases} 0,\qquad t<0\\ 1,\qquad t>0 \end{cases} ϵ(t)={0,t<01,t>0

延迟单位阶跃函数
ϵ ( t − t 0 ) = { 0 , t < t 0 1 , t > t 0 \epsilon(t-t_0)= \begin{cases} 0,\qquad t<t_0\\ 1,\qquad t>t_0 \end{cases} ϵ(t−t0)={0,t<t01,t>t0
矩形脉冲
G ( t ) = ϵ ( t ) − ϵ ( t 0 ) G(t)=\epsilon(t)-\epsilon(t_0) G(t)=ϵ(t)−ϵ(t0)
脉冲强度即脉冲的面积，若等于1，称为单位脉冲

2.单位冲激函数

（定义）
δ ( t ) = { 0 , t ≠ 0 奇异 , t = 0 ∫ − ∞ + ∞ δ ( t ) d t = 1 \delta(t)= \begin{cases} 0,\qquad t\ne0\\ 奇异,\qquad t=0 \end{cases}\\ \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)\mathrm dt=1 δ(t)={0,t=0奇异,t=0∫−∞+∞δ(t)dt=1
（性质）
{ δ ( t ) = δ ( − t ) δ ( t − t 0 ) = δ ( t 0 − t ) \begin{cases} \delta(t)=\delta(-t)\\ \delta(t-t_0)=\delta(t_0-t) \end{cases} {δ(t)=δ(−t)δ(t−t0)=δ(t0−t)

{ f ( t ) δ ( t ) = f ( 0 ) δ ( t ) f ( t ) δ ( t − t 0 ) = f ( t 0 ) δ ( t − t 0 ) \begin{cases} f(t)\delta(t)=f(0)\delta(t)\\ f(t)\delta(t-t_0)=f(t_0)\delta(t-t_0) \end{cases} {f(t)δ(t)=f(0)δ(t)f(t)δ(t−t0)=f(t0)δ(t−t0)

{ ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) δ ( t ) d t = f ( 0 ) ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) δ ( t − t 0 ) d t = f ( t 0 ) \begin{cases} \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta(t)\mathrm dt=f(0)\\ \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta(t-t_0)\mathrm dt=f(t_0) \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧∫−∞+∞f(t)δ(t)dt=f(0)∫−∞+∞f(t)δ(t−t0)dt=f(t0)

{ ∫ − ∞ t δ ( t ) d t = ϵ ( t ) ∫ − ∞ t δ ( t − t 0 ) = ϵ ( t − t 0 ) \begin{cases} \displaystyle\int_{-\infty}^t\delta(t)\mathrm dt=\epsilon(t)\\ \displaystyle\int_{-\infty}^t\delta(t-t_0)=\epsilon(t-t_0) \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧∫−∞tδ(t)dt=ϵ(t)∫−∞tδ(t−t0)=ϵ(t−t0)

{ δ ( t ) = ϵ ′ ( t ) δ ( t − t 0 ) = ϵ ′ ( t − t 0 ) \begin{cases} \delta(t)=\epsilon'(t)\\ \delta(t-t_0)=\epsilon'(t-t_0) \end{cases} {δ(t)=ϵ′(t)δ(t−t0)=ϵ′(t−t0)

6.5 一阶电路的阶跃响应

换路后储能元件原始储能为零的电路中，仅由独立电源引起的响应称为零状态响应，其中独立电源为阶跃电源的称为阶跃响应

单位阶跃特性
s ( t ) = Y X s(t)=\frac{Y}{X} s(t)=XY
对于矩形脉冲电源，
G ( t ) = ϵ ( t ) − ϵ ( t − t 0 ) G(t)=\epsilon(t)-\epsilon(t-t_0) G(t)=ϵ(t)−ϵ(t−t0)
可利用叠加定理拆分电源进行计算

6.6 一阶电路的冲激响应

冲激电源引起的零状态响应称为冲激响应
h ( t ) = s ′ ( t ) h(t)=s'(t) h(t)=s′(t)

6.7 正弦电源作用下的一阶电路

先用向量法确定稳态解 f p ( t ) f_p(t) fp(t)

然后求解时间常数 τ \tau τ

最后用待定系数法代入初始条件确定自由分量 f h ( t ) f_h(t) fh(t)的系数
f ( t ) = f p ( t ) + f h ( t ) f(t)=f_p(t)+f_h(t) f(t)=fp(t)+fh(t)

6.8 一阶电路的全响应

由独立源和储能元件原始储能共同作用引起的响应称为全响应
f ( t ) = f ′ ( t ) + f ′ ′ ( t ) f(t)=f'(t)+f''(t) f(t)=f′(t)+f′′(t)

6.9 一阶电路暂态响应的一般形式

在一阶电路中，强制分量与激励有关，自由分量为指数函数
f ( t ) = f p ( t ) + ( f ( 0 + ) − f p ( 0 + ) ) e − t τ f(t)=f_p(t)+(f(0_+)-f_p(0_+))\mathrm e^{-\frac t\tau} f(t)=fp(t)+(f(0+)−fp(0+))e−τt

6.10 二阶电路的暂态过程

用二阶微分方程描述的电路称为二阶电路，一般含有两个储能元件，书中以RLC电路为例，电感电压u_c为待求量
{ i = C d u c d t ， u R = R i ， u L = L d i d t u L + u R + u c = 0 \begin{cases} i=C\frac{du_c}{dt}，u_R=Ri，u_L=L\frac{di}{dt}\\ u_L+u_R+u_c=0 \end{cases} {i=Cdtduc，uR=Ri，uL=LdtdiuL+uR+uc=0
整理得
L C d 2 u C d t 2 + R C d u C d t + u C = 0 LC\frac{d^2u_C}{dt^2}+RC\frac{du_C}{dt}+u_C=0 LCdt2d2uC+RCdtduC+uC=0
初始条件确定积分常数
{ u c ( 0 + ) = u C ( 0 − ) C d u c d t ( 0 + ) = i L ( 0 − ) \begin{cases} u_c(0_+)=u_C(0_-)\\ C\frac{du_c}{dt}(0_+)=i_L(0_-) \end{cases} {uc(0+)=uC(0−)Cdtduc(0+)=iL(0−)

令 α = R 2 L \alpha=\frac{R}{2L} α=2LR，称为衰减系数， w 0 = 1 L C w_0=\frac{1}{\sqrt{LC}} w0=LC 1，即为谐振频率
d 2 u c d t 2 + 2 α d u c d t + w 0 2 u c = 0 \frac{d^2u_c}{dt^2}+2\alpha\frac{du_c}{dt}+w_0^2u_c=0 dt2d2uc+2αdtduc+w02uc=0
上述方程的特征根为
p = − α ± α 2 − w 0 2 p=-\alpha\pm\sqrt{\alpha^2-w_0^2} p=−α±α2−w02

（1）过阻尼过程（ α > w 0 \alpha>w_0 α>w0）

方程的通解为：
u c = A 1 e p 1 t + A 2 e p 2 t u_c=A_1e^{p_1t}+A_2e^{p_2t} uc=A1ep1t+A2ep2t
由初始条件，
{ A 1 + A 2 = u C ( 0 − ) C ( p 1 A 1 + p 2 A 2 ) = i L ( 0 − ) \begin{cases} A_1+A_2=u_C(0_-)\\ C(p_1A_1+p_2A_2)=i_L(0_-) \end{cases} {A1+A2=uC(0−)C(p1A1+p2A2)=iL(0−)

（2）欠阻尼过程（ α < w 0 \alpha<w_0 α<w0）

此时特征根为共轭复数

记 w d = w 0 2 − α 2 w_d=\sqrt{w_0^2-\alpha^2} wd=w02−α2 ，方程的通解为：
u C = A e − α t cos ⁡ ( w d t + ϕ ) u_C=Ae^{-\alpha t}\cos(w_dt+\phi) uC=Ae−αtcos(wdt+ϕ)
由初始条件，
{ A cos ⁡ ϕ = u C ( 0 − ) C ( − α A cos ⁡ ϕ − w d A s i n ϕ ) = i L ( 0 − ) \begin{cases} A\cos\phi=u_C(0_-)\\ C(-\alpha A\cos\phi-w_dAsin\phi)=i_L(0_-) \end{cases} {Acosϕ=uC(0−)C(−αAcosϕ−wdAsinϕ)=iL(0−)

（3）临界状态（ α = w 0 \alpha=w_0 α=w0）

此时特征根相等，为 − α -\alpha −α

方程的通解为：
u C = ( A 1 + A 2 t ) e − α t u_C=(A_1+A_2t)e^{-\alpha t} uC=(A1+A2t)e−αt
由初始条件，
A 1 = u C ( 0 − ) C ( A 2 − α A 1 ) = i L ( 0 − ) A_1=u_C(0_-)\\ C(A_2-\alpha A_1)=i_L(0_-) A1=uC(0−)C(A2−αA1)=iL(0−)

第7章线性动态电路暂态过程的复频域分析

7.1 Laplace变换

F ( s ) = ∫ 0 − + ∞ f ( t ) e − s t d t F(s)=\int_{0_-}^{+\infty}f(t)\mathrm e^{-st}\mathrm dt F(s)=∫0−+∞f(t)e−stdt

其中 s s s为复参量，具有频率的量纲

改变换记为
F ( s ) = L { f ( t ) } F(s)=\mathscr L\{f(t)\} F(s)=L{f(t)}
F ( s ) F(s) F(s)称为 f ( t ) f(t) f(t)的象函数， f ( t ) f(t) f(t)称为 F ( s ) F(s) F(s)的原函数

1.单位阶跃函数

f ( t ) = ϵ ( t ) F ( s ) = 1 s f(t)=\epsilon(t)\\ F(s)=\frac1s f(t)=ϵ(t)F(s)=s1

2.指数函数

f ( t ) = e − a t F ( s ) = 1 s + a f(t)=\mathrm e^{-at}\\ F(s)=\frac1{s+a} f(t)=e−atF(s)=s+a1

3.单位冲激函数

f ( t ) = δ ( t ) F ( s ) = 1 f(t)=\delta(t)\\ F(s)=1 f(t)=δ(t)F(s)=1

4.其他

1 ( s + a ) 2 = L { t e − a t } s = L { δ ′ ( t ) } \frac1{(s+a)^2}=\mathscr L\{t\mathrm e^{-at}\}\\ s=\mathscr L\{\delta'(t)\} (s+a)21=L{te−at}s=L{δ′(t)}

7.2 Laplace变换的基本性质

1.线性性质

a F 1 ( s ) + b F 2 ( s ) = L { a f 1 ( t ) + b f 2 ( t ) } aF_1(s)+bF_2(s)=\mathscr L\{af_1(t)+bf_2(t)\} aF1(s)+bF2(s)=L{af1(t)+bf2(t)}

2.微分性质

s F ( s ) − f ( 0 − ) = L { f ( t ) } sF(s)-f(0_-)=\mathscr L\{f(t)\} sF(s)−f(0−)=L{f(t)}

3.积分性质

F ( s ) s = L { ∫ 0 − t f ( t ) d t } \frac{F(s)}s=\mathscr L\{\int_{0_-}^tf(t)\mathrm dt\} sF(s)=L{∫0−tf(t)dt}

7.3 Laplace逆变换

无复数根情况下分解为一次分式之和即可

有复数根时，设象函数
F ( s ) = A s − p + A ∗ s − p ∗ F(s)=\frac A{s-p}+\frac{A^*}{s-p^*} F(s)=s−pA+s−p∗A∗
其中，KaTeX parse error: Undefined control sequence: \ang at position 6: A=|A|\̲a̲n̲g̲\theta， p = α + j β p=\alpha+j\beta p=α+jβ，为极点
f ( t ) = 2 ∣ A ∣ e α t cos ⁡ ( β t + θ ) f(t)=2|A|\mathrm e^{\alpha t}\cos(\beta t+\theta) f(t)=2∣A∣eαtcos(βt+θ)

7.4 复频域中的电路模型

R → R C → 1 s C + u C ( 0 − ) s L → s L − L i L ( 0 − ) { u 1 = L 1 i 1 + M i 2 u 2 = M i 1 + L 2 i i → { u 1 ( s ) = s L 1 i 1 ( s ) + s M i 2 ( s ) − ( s L 1 i 1 ( 0 − ) + s M i 2 ( 0 − ) ) u 2 ( s ) = s M i 1 ( s ) + s L 2 i 2 ( s ) − ( s M i 1 ( 0 − ) + s L 2 i 2 ( 0 − ) ) R\rightarrow R\\ C\rightarrow\frac1{sC}+\frac{u_C(0_-)}s\\ L\rightarrow sL-Li_L(0_-)\\ \begin{cases} u_1=L_1i_1+Mi_2\\ u_2=Mi_1+L_2i_i \end{cases} \rightarrow \begin{cases} u_1(s)=sL_1i_1(s)+sMi_2(s)-(sL_1i_1(0_-)+sMi_2(0_-))\\ u_2(s)=sMi_1(s)+sL_2i_2(s)-(sMi_1(0_-)+sL_2i_2(0_-)) \end{cases} R→RC→sC1+suC(0−)L→sL−LiL(0−){u1=L1i1+Mi2u2=Mi1+L2ii→{u1(s)=sL1i1(s)+sMi2(s)−(sL1i1(0−)+sMi2(0−))u2(s)=sMi1(s)+sL2i2(s)−(sMi1(0−)+sL2i2(0−))

7.5 网络函数

1.网络函数

在只有一个独立电源的线性零状态电路中，相应象函数 Y ( s ) Y(s) Y(s)与激励象函数 X ( s ) X(s) X(s)成正比，比值记为 H ( s ) H(s) H(s)，称为（复频域中的）网络函数
H ( s ) = Y ( s ) X ( s ) H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)} H(s)=X(s)Y(s)
网络函数就是网络单位冲激特性的象函数；反之，网络函数的原函数就是网络单位冲激特性
H ( s ) = L { h ( t ) } h ( t ) = L − 1 { H ( s ) } H(s)=\mathscr L\{h(t)\}\\ h(t)=\mathscr L^{-1}\{H(s)\} H(s)=L{h(t)}h(t)=L−1{H(s)}
若已知激励 X ( s ) X(s) X(s)和网络函数 H ( t ) H(t) H(t)，则响应
Y ( s ) = H ( s ) X ( s ) Y(s)=H(s)X(s) Y(s)=H(s)X(s)
其中 H ( s ) H(s) H(s)分母根的对应项为自由分量， X ( s ) X(s) X(s)分母根的对应项为强制分量

2.复频域网络函数与复数网络函数的关系

H ( s ) ⟺ s = j w H ( j w ) H(s)\stackrel{s=jw}{\iff}H(jw) H(s)⟺s=jwH(jw)

第8章二端口网络

8.1 二端口网络

我们重申一下端口和端子的概念

端子是元件网络与外部器件的接线端

满足端口条件的两个端子称为端口，其中端口条件指的是从一个端子流入的电流等于另一个端子流出的电流

若一个网络有四个端子且形成两个端口，称为二端口网络，本章不讨论含源或非线性二端口网络

对于三端网络，完全可以用两组电压和电流来描述其状态，故而可以用二端口网络来代替

推而广之，n端网络可以由n-1端口网络代替，但需要注意的时，n-1端口网络不能由n端网络代替

8.2 导纳参数方程和阻抗参数方程

本章一概采用向量法分析，而复频域法与此大同小异

1.导纳参数方程

Y Y Y参数方程：
I ˙ 1 = Y 11 U ˙ 1 + Y 12 U ˙ 2 I ˙ 2 = Y 21 U ˙ 1 + Y 22 U ˙ 2 \dot I_1=Y_{11}\dot U_1+Y_{12}\dot U_2\\ \dot I_2=Y_{21}\dot U_1+Y_{22}\dot U_2 I˙1=Y11U˙1+Y12U˙2I˙2=Y21U˙1+Y22U˙2
Y Y Y参数矩阵：
Y = [ Y 11 Y 12 Y 21 Y 22 ] \pmb Y= \begin{bmatrix} Y_{11}&Y_{12}\\ Y_{21}&Y_{22} \end{bmatrix} Y=[Y11Y21Y12Y22]
我们可以将一个端口短路从而得到 Y Y Y参数的具体值，故 Y Y Y参数又称为短路导纳参数， Y 11 Y_{11} Y11为短路输入导纳， Y 22 Y_{22} Y22为短路输出导纳， Y 12 Y_{12} Y12和 Y 21 Y_{21} Y21为短路转移导纳

对于已知的电路， Y Y Y参数方程与节点电压方程相近，通过节点电压法来求 Y Y Y参数比较方便

若网络中不含有受控源，则 Y 12 = Y 21 Y_{12}=Y_{21} Y12=Y21，称为互易二端口，单端口短路下电压源的位置不影响短路电流的大小

若网络可以等效为完全对称的电路，则 Y 11 = Y 22 , Y 12 = Y 21 Y_{11}=Y_{22},Y_{12}=Y_{21} Y11=Y22,Y12=Y21，称为对称二端口，电压源的位置不影响输入电流和输出电流的大小

2.阻抗参数方程

Z Z Z参数方程：
U ˙ 1 = Z 11 I ˙ 1 + Z 12 I ˙ 2 U ˙ 2 = Z 21 I ˙ 1 + Z 22 I ˙ 2 \dot U_1=Z_{11}\dot I_1+Z_{12}\dot I_2\\ \dot U_2=Z_{21}\dot I_1+Z_{22}\dot I_2 U˙1=Z11I˙1+Z12I˙2U˙2=Z21I˙1+Z22I˙2
Z Z Z参数矩阵：
Z = [ Z 11 Z 12 Z 21 Z 22 ] \pmb Z= \begin{bmatrix} Z_{11}&Z_{12}\\ Z_{21}&Z_{22} \end{bmatrix} Z=[Z11Z21Z12Z22]
我们可以将一个端口短路从而得到 Z Z Z参数的具体值，故 Z Z Z参数又称为开路阻抗参数， Z 11 Z_{11} Z11为开路输入阻抗， Z 22 Z_{22} Z22为开路输出阻抗， Z 12 Z_{12} Z12和 Z 21 Z_{21} Z21为开路传输阻抗

对于已知的电路， Z Z Z参数方程与回路电流方程相近，通过回路电流法来求 Z Z Z参数比较方便

若网络中不含有受控源，则满足互易条件 Z 12 = Z 21 Z_{12}=Z_{21} Z12=Z21，单端口开路下电流源的位置不影响开路电压的大小

若网络可以等效为完全对称的电路，则满足对称条件 Z 11 = Z 22 , Z 12 = Z 21 Z_{11}=Z_{22},Z_{12}=Z_{21} Z11=Z22,Z12=Z21，电流源的位置不影响输入电压和输出电压的大小

Y = Z − 1 Y=Z^{-1} Y=Z−1总成立，但并不是所有的电路都同时存在 Y Y Y参数和 Z Z Z参数，此时 Y \pmb Y Y或 Z \pmb Z Z不可逆

8.3 传输参数方程和混合参数方程

1.传输参数方程

A A A参数方程（注意 I ˙ 2 \dot I_2 I˙2前的负号）：
U ˙ 1 = A 11 U ˙ 2 + A 12 ( − I ˙ 2 ) I ˙ 1 = A 21 U ˙ 2 + A 22 ( − I ˙ 2 ) \dot U_1=A_{11}\dot U_2+A_{12}(-\dot I_2)\\ \dot I_1=A_{21}\dot U_2+A_{22}(-\dot I_2) U˙1=A11U˙2+A12(−I˙2)I˙1=A21U˙2+A22(−I˙2)
A A A参数矩阵：
A = [ A 11 A 12 A 21 A 22 ] \pmb A= \begin{bmatrix} A_{11}&A_{12}\\ A_{21}&A_{22} \end{bmatrix} A=[A11A21A12A22]
主要用于通信工程

我们可以将输出端口短路和开路从而得到 A A A参数的具体值

对于已知的电路，可以用节点电压法或回路电流法列写电路方程，变换为 A A A参数方程，得到 A A A参数

若网络中不含受控源，则满足互易条件 det ⁡ A = 1 \det A=1 detA=1，转换为 Y Y Y或 Z Z Z参数有相应定理

若网络可以等效为完全对称的电路，则满足对称条件 det ⁡ A = 1 , A 11 = A 22 \det A=1,A_{11}=A_{22} detA=1,A11=A22，转换为 Y Y Y或 Z Z Z参数有相应定理

2.逆传输参数方程

B B B参数方程（注意 I ˙ 1 \dot I_1 I˙1前的负号）：
U ˙ 2 = B 11 U ˙ 1 + B 12 ( − I ˙ 1 ) I ˙ 2 = B 21 U ˙ 1 + B 22 ( − I ˙ 1 ) \dot U_2=B_{11}\dot U_1+B_{12}(-\dot I_1)\\ \dot I_2=B_{21}\dot U_1+B_{22}(-\dot I_1) U˙2=B11U˙1+B12(−I˙1)I˙2=B21U˙1+B22(−I˙1)
B B B参数矩阵：
B = [ B 11 B 12 B 21 B 22 ] \pmb B= \begin{bmatrix} B_{11}&B_{12}\\ B_{21}&B_{22} \end{bmatrix} B=[B11B21B12B22]
需要注意的是，由于电流前的负号， A ≠ B − 1 A\ne B^{-1} A=B−1
B = [ A 22 A 12 A 21 A 11 ] A − 1 = [ A 22 − A 12 − A 21 A 11 ] \pmb B= \begin{bmatrix} A_{22}&A_{12}\\ A_{21}&A_{11} \end{bmatrix} \qquad \pmb A^{-1}= \begin{bmatrix} A_{22}&-A_{12}\\ -A_{21}&A_{11} \end{bmatrix} B=[A22A21A12A11]A−1=[A22−A21−A12A11]
主要用于通信工程

我们可以将输入端口短路和开路从而得到 B B B参数的具体值

对于已知的电路，可以用节点电压法或回路电流法列写电路方程，变换为 B B B参数方程，得到 B B B参数

若网络中不含受控源，则满足互易条件 det ⁡ B = 1 \det B=1 detB=1，转换为 Y Y Y或 Z Z Z参数有相应定理

若网络可以等效为完全对称的电路，则满足对称条件 det ⁡ B = 1 , B 11 = B 22 \det B=1,B_{11}=B_{22} detB=1,B11=B22，转换为 Y Y Y或 Z Z Z参数有相应定理

3.混合参数方程

H H H参数方程：
U ˙ 1 = H 11 I ˙ 1 + H 12 U ˙ 2 I ˙ 2 = H 21 I ˙ 1 + H 22 U ˙ 2 \dot U_1=H_{11}\dot I_1+H_{12}\dot U_2\\ \dot I_2=H_{21}\dot I_1+H_{22}\dot U_2 U˙1=H11I˙1+H12U˙2I˙2=H21I˙1+H22U˙2
H H H参数矩阵：
H = [ H 11 H 12 H 21 H 22 ] \pmb H= \begin{bmatrix} H_{11}&H_{12}\\ H_{21}&H_{22} \end{bmatrix} H=[H11H21H12H22]
主要用于描述晶体管等效电路

我们可以将输入端口短路和输出端口开路从而得到 H H H参数的具体值

对于已知的电路，可以用节点电压法或回路电流法列写电路方程，变换为 H H H参数方程，得到 H H H参数

若网络中不含受控源，则满足互易条件 H 12 = − H 21 H_{12}=-H_{21} H12=−H21，转换为 Y Y Y或 Z Z Z参数有相应定理

若网络可以等效为完全对称的电路，则满足对称条件 H 12 = − H 21 , det ⁡ H = 1 H_{12}=-H_{21},\det H=1 H12=−H21,detH=1，转换为 Y Y Y或 Z Z Z参数有相应定理

4.逆混合参数方程

G G G参数方程：
I ˙ 1 = G 11 U ˙ 1 + G 12 I ˙ 2 U ˙ 2 = G 21 U ˙ 1 + G 22 I ˙ 2 \dot I_1=G_{11}\dot U_1+G_{12}\dot I_2\\ \dot U_2=G_{21}\dot U_1+G_{22}\dot I_2 I˙1=G11U˙1+G12I˙2U˙2=G21U˙1+G22I˙2
G G G参数矩阵：
G = [ G 11 G 12 G 21 G 22 ] \pmb G= \begin{bmatrix} G_{11}&G_{12}\\ G_{21}&G_{22} \end{bmatrix} G=[G11G21G12G22]
有
H = G − 1 \pmb H=\pmb G^{-1} H=G−1

主要用于描述晶体管等效电路

我们可以将输入端口短路和输出端口开路从而得到 G G G参数的具体值

对于已知的电路，可以用节点电压法或回路电流法列写电路方程，变换为 G G G参数方程，得到 G G G参数

若网络中不含受控源，则满足互易条件 G 12 = − G 21 G_{12}=-G_{21} G12=−G21，转换为 Y Y Y或 Z Z Z参数有相应定理

若网络可以等效为完全对称的电路，则满足对称条件 G 12 = − G 21 , det ⁡ G = 1 G_{12}=-G_{21},\det G=1 G12=−G21,detG=1，转换为 Y Y Y或 Z Z Z参数有相应定理

8.4 二端口网络的等效电路

一般的二端口网络有四个独立参数，而互易二端口只有三个独立参数，我们先考察互易二端口的等效电路

若给定 Z Z Z参数，宜等效为 T T T形电路
Z 1 = Z 11 − Z 12 Z 2 = Z 22 − Z 21 Z 3 = Z 12 或 Z 21 Z_1=Z_{11}-Z_{12}\\ Z_2=Z_{22}-Z_{21}\\ Z_3=Z_{12}或Z_{21} Z1=Z11−Z12Z2=Z22−Z21Z3=Z12或Z21
若给定 Y Y Y参数，宜等效为 Π \Pi Π形电路
Y 1 = Y 11 + Y 12 Y 2 = Y 22 + Y 21 Y 3 = − Y 12 或 − Y 21 Y_1=Y_{11}+Y_{12}\\ Y_2=Y_{22}+Y_{21}\\ Y_3=-Y_{12}或-Y_{21} Y1=Y11+Y12Y2=Y22+Y21Y3=−Y12或−Y21
若给定的是传输参数或混合参数，应先将其变为 Z Z Z参数或 Y Y Y参数

对于对称二端口，等效后的电路一定是对称的，即 Z 1 = Z 2 , Y 1 = Y 2 Z_1=Z_2,Y_1=Y_2 Z1=Z2,Y1=Y2

如果为非互易二端口，将参数方程变形：
U ˙ 1 = Z 11 I ˙ 1 + Z 12 I ˙ 2 U ˙ 2 = Z 12 I ˙ 1 + Z 22 I ˙ 2 + ( Z 21 − Z 12 ) I ˙ 1 \begin{align} &\dot U_1=Z_{11}\dot I_1+Z_{12}\dot I_2\\ &\dot U_2=Z_{12}\dot I_1+Z_{22}\dot I_2+(Z_{21}-Z_{12})\dot I_1 \end{align} U˙1=Z11I˙1+Z12I˙2U˙2=Z12I˙1+Z22I˙2+(Z21−Z12)I˙1

I ˙ 1 = Y 11 U ˙ 1 + Y 12 U ˙ 2 I ˙ 2 = Y 12 U ˙ 1 + Y 22 U ˙ 2 + ( Y 21 − Y 12 ) U ˙ 1 \begin{align} &\dot I_1=Y_{11}\dot U_1+Y_{12}\dot U_2\\ &\dot I_2=Y_{12}\dot U_1+Y_{22}\dot U_2+(Y_{21}-Y_{12})\dot U_1 \end{align} I˙1=Y11U˙1+Y12U˙2I˙2=Y12U˙1+Y22U˙2+(Y21−Y12)U˙1

只需要在互易二端口等效电路的输出端增加合适的受控源即可（变形输入端等式的在输入端增加受控源）

8.5 二端口网络与电源和负载的连接

我们默认输入端接电源，输出端接负载

有基本方程：
U ˙ 1 = A 11 U ˙ 2 + A 12 ( − I ˙ 2 ) I ˙ 1 = A 21 U ˙ 2 + A 22 ( − I ˙ 2 ) U ˙ S = Z S I ˙ 1 + U ˙ 1 U ˙ 2 = Z L ( − I ˙ 2 ) \begin{align} &\dot U_1=A_{11}\dot U_2+A_{12}(-\dot I_2)\\ &\dot I_1=A_{21}\dot U_2+A_{22}(-\dot I_2)\\ &\dot U_S=Z_S\dot I_1+\dot U_1\\ &\dot U_2=Z_L(-\dot I_2) \end{align} U˙1=A11U˙2+A12(−I˙2)I˙1=A21U˙2+A22(−I˙2)U˙S=ZSI˙1+U˙1U˙2=ZL(−I˙2)

输入阻抗（从输入端看）：
Z i = A 11 Z L + A 12 A 21 Z L + A 22 Z_i=\frac{A_{11}Z_L+A_{12}}{A_{21}Z_L+A_{22}} Zi=A21ZL+A22A11ZL+A12
输出阻抗（从输出端看）：
U o = U S A 21 Z S + A 11 Z o = A 22 Z S + A 12 A 21 Z S + A 11 U_o=\frac{U_S}{A_{21}Z_S+A_{11}}\\ Z_o=\frac{A_{22}Z_S+A_{12}}{A_{21}Z_S+A_{11}} Uo=A21ZS+A11USZo=A21ZS+A11A22ZS+A12

8.6 二端口网络的级联

将一个二端口的输出端与另一个二端口的输入端连接，称为二端口网络的级联

按左右顺序标记两个二端口的 A A A参数矩阵，级联后网络的 A A A参数矩阵为
A = A a A b \pmb A=\pmb A^a\pmb A^b A=AaAb