傅里叶级数与线性代数

前几天旁听了一节小波变换，授课老师讲的非常棒。在开始的时候，老师问了一个问题，傅里叶级数的本质是什么？

本质就是线性代数里的线性表示！

如何理解呢？网上截几个公式说明一下。

上图是傅里叶级数的形式，能不能看成f在基cos(nwt)和sin(nwt)下的线性表示呢？有以下几个问题需要回答一下：

1.cos(nwt)和sin(nwt)是基吗？进一步讲，正交吗？

正交的概念与内积息息相关，这里不做过多的叙述。验证是否正交只需要看内积是否等于0即可，在[-T/2,T/2]上对sin*cos做积分，注意到sin*cos是奇函数，在对称区间上积分为0，因此可以理解为正交基。同时sin^2+cos^2=1，进一步可以说成单位正交基。

2.系数an和bn是怎么来的？

可能很多人试图背下来系数的求解公式，如下图：

背诵对我们的理解没有一点帮助！回顾一下，在线性代数里面，我们是如何求解线性表示的表示系数的呢？我这里给出一个实例，假设向量y可以用一组基x1,x2,x3线性表示，表示形式为y=a1*x1+a2*x2+a3*x3，在线性代数里，我们是怎么求出a1,a2,a3呢？两边做内积！以求a1为例。用x1在等式两边做内积得到<x1,y>=<a1*x1,x1>+<a2*x2,x1>+<a3*x3,x1>，由于x1,x2,x3两两正交，所以等式后面两项为0，因此x2,x3可以消掉，y和x1已知，从而可求得系数a1.对于傅里叶级数也是同样的道理，系数求解就是内积求解。

在以后的学习中一定要把学过的东东联系起来！

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