信息学奥赛一本通 1258：【例9.2】数字金字塔

【题目链接】

ybt 1258：【例9.2】数字金字塔

【题目考点】

1. 记忆化搜索

2. 动态规划基本型

【解题思路】

思路1：一般深搜（非正确解）

每到一个位置，更新加和，向左下，右下两个方向搜索。
搜索到最后一行，判断当前加和是否大于最大加和，更新最大加和。
该搜索过程实际上对很多问题重复计算了很多次，因而时间复杂度较高。只能解决小规模的问题，如果提交该代码的话，必定超时！

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1005
int a[N][N], r;
int maxSum, sum;//最大加和
//从第i，j位置开始搜索
void dfs(int i, int j)
{sum += a[i][j];if(i == r)//i==r时，是最下面一行{if(sum > maxSum)//更新最大加和maxSum = sum;}else//只要不是最后一行。{//i，j左下的位置是：i+1,j，右下的位置是：i+1,j+1dfs(i + 1, j);dfs(i + 1, j + 1);}sum -= a[i][j];
}
int main()
{cin>>r;for(int i = 1; i <= r; ++i){for(int j = 1; j <= i; ++j)cin>>a[i][j];}dfs(1, 1);cout<<maxSum;return 0;
}

思路2：记忆化递归

思路3：顺推法

思路4：逆推法

【题解代码】

解法1：记忆化递归

设二维数组sumMx，sumMx[i][j]记录i，j位置到底层的最大加和。

递归问题为：求第i，j位置到底层的最大加和。
递归函数中：
- 如果在sumMx中已经记录了i，j位置到底层的最大加和，则直接返回该值。
- 如果没有记录，那么最大加和为：“该位置左下方位置到底层的最大加和”，和“该位置右下方位置到底层的最大加和”中的最大值，加上该位置的值。而后记录该值。
  i，j的左下方位置：i+1,j，右下方位置：i+1,j+1，所以该表达式为：
  sumMx[i][j] = a[i][j] + max(dfs(i+1, j), dfs(i+1, j+1));
递归退出条件：到达底层

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1005
int a[N][N], r;//a:原始数据，r：行数
int sumMx[N][N];//sumMx[i][j]：记录i，j位置到底层的最大加和
int maxSum, sum;//maxSum：最大加和，sum：临时加和
//求第i，j位置到底层的最大加和
int dfs(int i, int j)
{if(sumMx[i][j] == -1)//如果这里没有记录{if(i == r)//如果已经到底层sumMx[i][j] = a[i][j];//从该点到底层的最大加和就是该位置的值elsesumMx[i][j] = a[i][j] + max(dfs(i+1, j), dfs(i+1, j+1));}return sumMx[i][j];
}
int main()
{cin>>r;for(int i = 1; i <= r; ++i)for(int j = 1; j <= i; ++j)cin>>a[i][j];memset(sumMx, -1, sizeof(sumMx));//将sumMx数组初值设为-1，表示这里没有记录数据cout<<dfs(1, 1);return 0;
}

解法2：顺推法

设二维数组sumMx，sumMx[i][j]记录从1，1位置到i，j位置的最大加和
1，1到i，j位置的加和，为1，1到i，j位置左上右上两个位置的加和的最大值，加上i，j位置的值。
i，j左上位置为i-1，j-1；右上位置为i-1，j
所以有：sumMx[i][j] = max(sumMx[i-1][j-1], sumMx[i-1][j]) + a[i][j];
初始情况sumMx[1][1] = a[1][1];
以此可以推出从1,1到底层各位置的最大加和，取其中最大值即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1005
int a[N][N], r;//a:原始数据，r：行数
int sumMx[N][N];//sumMx[i][j]：记录从1，1到i，j位置的最大加和
int mxVal;//最大加和
int main()
{cin>>r;for(int i = 1; i <= r; ++i)for(int j = 1; j <= i; ++j)cin>>a[i][j];sumMx[1][1] = a[1][1];for(int i = 2; i <= r; ++i)for(int j = 1; j <= i; ++j){sumMx[i][j] = max(sumMx[i-1][j-1], sumMx[i-1][j]) + a[i][j];if(i == r)//求第r行的最大值{if(sumMx[i][j] > mxVal)mxVal = sumMx[i][j];}}cout<<mxVal;return 0;
}

解法3：逆推法

设数组sumMx[i][j]表示从底层某位置到i，j的最大加和。
从底层向上层递推。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1005
int a[N][N], r;//a:原始数据，r：行数
int sumMx[N][N];//sumMx[i][j]：记录从底层到i，j位置的最大加和
int mxVal;//最大加和
int main()
{cin>>r;for(int i = 1; i <= r; ++i)for(int j = 1; j <= i; ++j)cin>>a[i][j];for(int i = 1; i <= r; ++i)//底层到底层的和，即为该位置的值sumMx[r][i] = a[r][i];for(int i = r - 1; i >= 1; --i)//从倒数第二行遍历到第1行for(int j = 1; j <= i; ++j)sumMx[i][j] = max(sumMx[i+1][j], sumMx[i+1][j+1]) + a[i][j];//i，j位置的加和为其下面两个位置的加和中的最大值加上本位置的值cout<<sumMx[1][1];//底层某位置到1，1的最大加和，即为要求的值return 0;
}

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