Description

平面上有\(n\)个位置\(1\dots n\)，第\(i\)个位置有一个高为\(H_i\)的楼房；所有\(H\)初始值为\(0\)。每次修改一个\(H_i\)，求修改后从\((0,0)\)点可以看到多少楼房。\(n,m\leq10^5\)。

Solution

线段树。

首先可以发现某个楼房能够被看到当且仅当它的顶点斜率>所有前面的楼房顶点的斜率。

只记录斜率，把“比前面所有数都大的数”称为“优数”，那么答案即为“优数”的个数

那么线段树每个节点维护最大值\(max\)和区内“优数”的个数\(ans\)。

先考虑查询。我们把查询写成\(q(o, x)​\)表示查询\([l_o,r_o]​\)区间（即结点\(o​\)代表的区间）内比\(x​\)大的“优数”的个数。

如果\(x\)大于等于\(max_{lson}\)，那么\(q(o,x)=q(rson, x)\)。显然。

否则，\(q(o,x)=ans_o - (ans_{lson}-q(lson, x))\)，即总“优数”个数减去左子区间里小于等于x的“优数”个数。

再考虑如何维护信息。\(max\)容易维护。\(ans_o=ans_{lson}+q(rson, max_{lson})\)即可。

最终的答案就是\(q(root, 0)\)。

Code

#include <algorithm>
#include <cstdio>
const int N = 100050;
typedef long long LL;
struct Frac{int x, y;Frac(int x = 1, int y = 0) : x(x), y(y) {}bool operator<(const Frac &f) const {return (LL)y * f.x < (LL)f.y * x;}
}maxv[N * 4];
int lenv[N * 4], Y[N];
int query(int o, int l, int r, Frac x) {if (!(x < maxv[o])) return 0;if (l == r) return 1;int mid = (l + r) / 2;return maxv[o << 1] < x? query(o << 1 | 1, mid + 1, r, x): query(o << 1, l, mid, x) + lenv[o] - lenv[o << 1];
}
void upd(int o, int l, int r) {if (l == r) {lenv[o] = 1;maxv[o] = Frac(l, Y[l]);} else {int lc = o << 1, rc = o << 1 | 1, mid = (l + r) / 2;maxv[o] = std::max(maxv[lc], maxv[rc]);lenv[o] = lenv[lc] + query(rc, mid + 1, r, maxv[lc]);}
}
void modify(int o, int l, int r, int x, int y) {if (l > x || r < x) return;if (l == r)Y[x] = y;else {int mid = (l + r) / 2;modify(o << 1, l, mid, x, y);modify(o << 1 | 1, mid + 1, r, x, y);}upd(o, l, r);
}
void build(int o, int l, int r) {maxv[o] = Frac(l, 0); lenv[o] = 1;if (l != r) {int mid = (l + r) / 2;build(o << 1, l, mid);build(o << 1 | 1, mid + 1, r);}
}
int main() {int n, m, x, y;scanf("%d%d", &n, &m);build(1, 1, n);while (m--) {scanf("%d%d", &x, &y);modify(1, 1, n, x, y);printf("%d\n", query(1, 1, n, Frac()));}return 0;
}